Rentenrechnung


Rentenrechnung

Die Rentenrechnung ist ein klassisches Verfahren der Finanzmathematik.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Unter einer Rente versteht man eine periodische Folge von Zahlungen. Werden die im Voraus vereinbarten Zahlungen nur ausgeführt, wenn am betreffenden Zahlungstermin eine oder mehrere bestimmte Personen noch am Leben sind, spricht man von Leibrenten; sie sind Gegenstand der Versicherungsmathematik. Werden die vereinbarten Zahlungen unabhängig vom Leben der am Vertrag beteiligten Personen ausbezahlt, spricht man von Zeitrenten. Dieser Artikel beschäftigt sich ausschließlich mit Zeitrenten.

Grundbegriffe

Wir betrachten als Zeiteinheit ein Jahr und nehmen zudem an, dass jährlich derselbe Rentenbetrag r zu bezahlen ist. Eine Rente heißt nachschüssig oder Postnumerando-Rente, wenn die Zahlungen am Ende der einzelnen Vertragsjahre erfolgen; erfolgen sie am Anfang der Vertragsjahre, sprechen wir von einer vorschüssigen oder einer Pränumerando-Rente.

Denken wir uns, dass jemand in jährlichen Abständen n Beträge von r Euro an Zinseszins gelegt hat, so können wir nach dem Kapital fragen, welches am Ende des n-ten Jahres zur Verfügung steht. Man nennt es den Endwert der Rente.

Wir können aber auch nach dem Kapital fragen, welches bei Vertragsabschluss zur Verfügung stehen muss, damit man aus ihm und seinen Zinsen die einzelnen künftigen Zahlungen von r Euro bestreiten kann. Man nennt es den Barwert der Rente. (Beide Werte hängen natürlich von der Anzahl n der Rentenzahlungen und vom Zinssatz p>0 ab.)

Andere Sichtweise: Endwert und Barwert ersetzen die Folge der Rentenzahlungen durch eine – unter Berücksichtigung der Zinseszinsen gleichwertige – einmalige Zahlung.

Grundformeln

In den folgenden Formeln bezeichnet q den Zinsfaktor q = 1 + p, falls p der Zinssatz ist. Beispiel für einen Zinssatz von 5 %: p=5%\Rightarrow q=1+p=1+5%=1+5\cdot\frac{1}{100}=1+0,05 = 1,05

  Vorschüssig Nachschüssig
Barwert r\cdot\frac{q^n-1}{q^{n-1}(q-1)} r\cdot\frac{q^n-1}{q^n(q-1)}
Endwert r\cdot\frac{q(q^n-1)}{q-1} r\cdot\frac{q^n-1}{q-1}

Beachte: q − 1 = (1 + p) − 1 = p

Dauer der Zahlung

Die Zahl der Rentenzahlungen, nach denen ein Kapital aufgebraucht ist, ergibt sich (bei vorschüssiger Zahlung) aus der Formel

n=\frac{\ln{\left(\frac{r}{q \cdot r-b \cdot \left(q-1\right)}\right)}}{\ln{\left(q\right)}}+1

Dabei ist b das ursprünglich vorhandene Kapital (der Barwert), q der Zinsfaktor, mit dem dieses Kapital angelegt und verzinst wird, und r die Höhe der daraus regelmäßig bezahlten Rente.

Hinweise:

  1. Diese Rechnung setzt natürlich voraus, dass der Zinssatz über die gesamte Dauer der Rentenzahlung gleich bleibt und sich auch nicht dadurch ändert, dass das Kapital im Laufe der Zeit kleiner wird.
  2. Benutzt man zur Berechnung für q den Jahreszinssatz, so muss man für r auch die Jahresrente einsetzen. Bei vorschüssiger Zahlung ist die Monatsrente etwas höher als ein 12tel der Jahresrente (weil die noch nicht ausgezahlten Monatsraten ja noch verzinst werden). Will man statt dessen mit Monaten als Auszahlungsperioden rechnen, so kann man als Monatszins ein 12tel des Jahreszinses einsetzen, wenn die Zinsgutschrift nur jährlich erfolgt. Erfolgt auch die Zinsgutschrift monatlich, so ist der monatliche Zinsfaktor die 12. Wurzel aus dem jährlichen Zinsfaktor.
    Für eine Überschlagsrechnung sind diese Ungenauigkeiten unbedeutend.

Höhe

Die Höhe der Rente, die aus einem Kapital gezahlt werden kann, ergibt sich (bei vorschüssiger Zahlung) aus der Formel

r = \frac{b \cdot q^{n-1} \left(q-1\right)}{q^n-1}

Wieder ist b das ursprünglich vorhandene Kapital (Barwert) und q der Zinsfaktor. n ist die Zahl der Rentenzahlungen, die ausgezahlt werden sollen.

Es gelten die gleichen Hinweise wie im vorigen Abschnitt.

Mathematischer Hintergrund

Für den Endwert der vorschüssigen Rente ergibt sich: Der erste Beitrag wird n-mal verzinst, der zweite Beitrag n-1-mal verzinst usw. bis zum letzten Beitrag, der genau einmal (also ein Jahr lang) verzinst wird. D. h. der Endwert der vorschüssigen Rente ist

r\cdot q^n + r\cdot q^{n-1} + \dots + r\cdot q = r\cdot (q^n + q^{n-1} + \dots + q)

Wegen

\begin{matrix}(q^n + q^{n-1} + \dots + q) \cdot (q - 1) &=& q^{n+1} + q^n + \dots + q^2 - q^n - q^{n-1} - \dots - q^2 - q \\ &=& q^{n+1} - q = q (q^n - 1)\end{matrix}

lässt sich q^n + q^{n-1} + \dots + q durch \frac{q \cdot (q^n - 1)}{q - 1} ersetzen und man erhält die obige Formel. Die anderen Grundformeln lassen sich analog herleiten.

Siehe auch

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