Residuum (Funktionentheorie)


Residuum (Funktionentheorie)

In der Funktionentheorie ist das Residuum einer komplexwertigen Funktion ein Hilfsmittel zur Berechnung von komplexen Kurvenintegralen mit Hilfe des Residuensatzes.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Komplexe Gebiete

Sei D\subseteq\mathbb{C} ein Gebiet, Df isoliert in D und f\colon D\setminus D_f \to \mathbb{C} holomorph. Dann existiert zu jedem Punkt a\in D_f eine punktierte Umgebung U:=U_r(a)\setminus\{a\}\subset D, die relativ kompakt in D liegt, mit f | U holomorph. Diesenfalls besitzt f auf U eine Laurententwicklung \textstyle f|_U(z) =\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-a)^n. Dann definiert man für das Residuum von f in a

\operatorname{Res}_a(f) := c_{-1}=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U} f(z) dz.

Riemannsche Zahlenkugel

Die obige Definition kann man auch auf die riemannsche Zahlenkugel \mathbb{P}_1 = \C \cup \{\infty\} erweitern. Sei Df wieder eine diskrete Menge in \mathbb{P}_1 und f \colon \mathbb{P}_1 \setminus D_f \to \mathbb{C} eine holomorphe Funktion. Dann ist für alle a \in D_f mit a \neq \infty das Residuum ebenfalls durch die obige Definition erklärt. Für a = \infty \in D_f setzt man

\operatorname{Res}_\infty(f) := -c_{-1} = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\gamma} f(z) dz\, ,

wobei γ ein Kreis mit hinreichend großem Radius ist, der im Uhrzeigersinn orientiert ist, und c − 1 ist wie oben der -1. Koeffizient der Laurentreihe.

Eigenschaften und Anmerkungen

  • Sei D \subset \C ein Gebiet und f \colon D \to \C eine holomorphe Funktion in a. Dann kann der cauchysche Integralsatz angewendet werden, woraus folgt, dass das Residuum von f in a null ist.
  • An der Integraldarstellung erkennt man, dass man auch vom Residuum der Differentialform f(z)dz sprechen kann.
  • Nach dem Residuensatz ist die Summe aller Residuen null.

Praktische Berechnung

Folgende Regeln können zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen f,g im Punkt a\in\mathbb{C} in der Praxis verwendet werden:

  • Das Residuum ist \mathbb{C}-linear, d.h. für \lambda,\mu\in\mathbb{C} gilt: \operatorname{Res}_a \left( \lambda f + \mu g \right) = \lambda\operatorname{Res}_a f + \mu\operatorname{Res}_a g
  • Hat f in a eine Polstelle 1. Ordnung, gilt: \textstyle \operatorname{Res}_a f = \lim_{z\rightarrow a} (z-a)f(z)
  • Hat f in a eine Polstelle 1. Ordnung und ist g in a holomorph, gilt: \operatorname{Res}_a gf=g(a)\operatorname{Res}_a f
  • Hat f in a eine Nullstelle 1. Ordnung, gilt: \operatorname{Res}_a\tfrac{1}{f} = \tfrac{1}{f'(a)}
  • Hat f in a eine Nullstelle 1. Ordnung und ist g in a holomorph, gilt: \operatorname{Res}_a\tfrac{g}{f} = \tfrac{g(a)}{f'(a)}
  • Hat f in a eine Polstelle n-ter Ordnung, gilt: \textstyle \operatorname{Res}_a f = \tfrac{1}{\left(n-1\right)!}\lim_{z\rightarrow a}\frac{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}[(z-a)^nf(z)]
  • Hat f in a eine Nullstelle n-ter Ordnung, gilt: \operatorname{Res}_a\tfrac{f'}{f}=n.
  • Hat f in a eine Nullstelle n-ter Ordnung und ist g in a holomorph, gilt: \operatorname{Res}_a g\tfrac{f'}{f}=g(a)n.
  • Hat f in a eine Polstelle n-ter Ordnung, gilt: \operatorname{Res}_a\tfrac{f'}{f}=-n.
  • Hat f in a eine Polstelle n-ter Ordnung und ist g in a holomorph, gilt: \operatorname{Res}_a g\tfrac{f'}{f}=-g(a)n.
  • Ist das Residuum am Punkt \infty zu berechnen, so gilt \operatorname{Res}_\infty f = \operatorname{Res}_0\left(-\tfrac{1}{z^2}f(\tfrac{1}{z})\right). Denn mit w=\tfrac{1}{z} gilt f(w)\mathrm{d}w=f(\tfrac{1}{z})\mathrm{d}\tfrac{1}{z}=-\tfrac{1}{z^2}f(\tfrac{1}{z})\mathrm{d}z

Die Regeln über die logarithmische Ableitung \tfrac{f'}{f} sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse.

Beispiele

  • Wie bereits erwähnt, ist \operatorname{Res}_a f=0, wenn f auf einer offenen Umgebung von a holomorph ist.
  • Ist f(z)=\tfrac{1}{z}, so hat f in 0 einen Pol 1. Ordnung, und es ist \operatorname{Res}_0 f=1.
  • \operatorname{Res}_1\tfrac{z}{z^2-1}=\tfrac{1}{2}, wie man sofort mit der Linearität und der Regel von der logarithmischen Ableitung sieht, denn z\mapsto z^2-1 hat in 1 eine Nullstelle 1. Ordnung.
  • Die fortgesetzte Gammafunktion hat in n für n\in\mathbb{N}_0 Pole 1. Ordnung, und das Residuum dort ist \operatorname{Res}_{-n}\Gamma=\tfrac{(-1)^n}{n!}.

Algebraische Sichtweise

Es seien k ein Körper und X eine zusammenhängende reguläre eigentliche Kurve über k. Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt x\in X eine kanonische Abbildung

\operatorname{res}_x\colon\Omega_{k(X)/k}\to k,

die jeder meromorphen Differentialform ihr Residuum in x zuordnet.

Ist x ein k-rationaler Punkt und t eine lokale Uniformisierende, so kann die Residuenabbildung wie folgt explizit angegeben werden: Ist ω eine meromorphe Differentialform und \omega=f\,\mathrm dt eine lokale Darstellung, und ist

f=\sum_{k=-N}^\infty a_kt^k

die Laurentreihe von f, so gilt

\operatorname{res}_x\omega=a_{-1}.

Insbesondere stimmt das algebraische Residuum im Fall k=\mathbb C mit dem funktionentheoretischen überein.

Das Analogon des Residuensatzes ist richtig: Für jede meromorphe Differentialform ω ist die Summe der Residuen null:

\sum_{x\in X}\operatorname{res}_x\omega=0.

Quellen

Eine Konstruktion der algebraischen Residuenabbildung.

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