Restklassenkörper

Restklassenkörper

Restklassenkörper spielen in verschiedenen Bereichen der Algebra und Zahlentheorie eine wichtige Rolle. In ihrer einfachsten Form sind sie die mathematische Abstraktion des Restes bei der Division durch eine Primzahl; in einer komplizierteren Fassung geben sie die lokale Struktur eines geometrischen Objektes in einem Punkt an.

Restklassenkörper modulo einer Primzahl

Ist p eine Primzahl, so ist der Restklassenring \mathbb Z/p\mathbb Z ein Körper, genauer ein endlicher Körper mit p Elementen. Er wird Restklassenkörper modulo p genannt und üblicherweise mit \mathbb F_p bezeichnet; man beachte jedoch, dass es auch endliche Körper \mathbb F_{p^2},\mathbb F_{p^3},\ldots gibt, die mit den jeweiligen Restklassenringen nichts zu tun haben.

Für weitere Details zu endlichen Körpern siehe endlicher Körper.

Restklassenkörper lokaler Ringe

Ist A ein lokaler Ring mit maximalem Ideal \mathfrak m, so heißt der Faktorring A/\mathfrak m (der als Faktorring eines maximalen Ideals ein Körper ist) der Restklassenkörper von A.

Ist K ein diskret bewerteter Körper mit Bewertungsring \mathcal O und uniformisierendem Element π, dann bezeichnet man \mathcal O/\pi als Restklassenkörper von K.

Restklassenkörper von Punkten auf Schemata

Ist X ein Schema und x\in X ein Punkt, so heißt der Restklassenkörper des lokalen Ringes \mathcal O_{X,x} der Restklassenkörper von X in x und wird häufig mit κ(x) bezeichnet.

Ist X ein Schema über einem Körper k, so sind alle Restklassenkörper von X Körpererweiterungen von k. Ist X / k lokal endlichen Typs und x\in X ein abgeschlossener Punkt, so ist κ(x) eine endliche Erweiterung von k; dies ist im Wesentlichen die Aussage des hilbertschen Nullstellensatzes.


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Bewertungstheorie — Im mathematischen Teilgebiet der Bewertungstheorie geht es um Verallgemeinerungen der Frage, durch welche Potenz einer festen Primzahl eine natürliche Zahl teilbar ist. Inhaltsverzeichnis 1 p Bewertung 1.1 p ganze und S ganze Zahlen 2 Diskr …   Deutsch Wikipedia

  • Körper (Algebra) — Ein Körper ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine ausgezeichnete algebraische Struktur, in der die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division wie bei den „normalen“ reellen Zahlen durchgeführt werden können. Die Bezeichnung… …   Deutsch Wikipedia

  • Verzweigte Körpererweiterung — Verzweigung ist ein mathematischer Begriff, der die Gebiete Algebra, algebraische Geometrie und komplexe Analysis miteinander verbindet. Inhaltsverzeichnis 1 Namengebendes Beispiel 2 Verzweigung im Kontext von Erweiterungen bewerteter Körper 2.1… …   Deutsch Wikipedia

  • Verzweigungspunkt — Verzweigung ist ein mathematischer Begriff, der die Gebiete Algebra, algebraische Geometrie und komplexe Analysis miteinander verbindet. Inhaltsverzeichnis 1 Namengebendes Beispiel 2 Verzweigung im Kontext von Erweiterungen bewerteter Körper 2.1… …   Deutsch Wikipedia

  • Endliche Galoiserweiterung — In der abstrakten Algebra ist ein Unterkörper eines Körpers L eine Teilmenge , die 0 und 1 enthält und mit den auf K eingeschränkten Verknüpfungen selbst ein Körper ist. L wird dann Oberkörper von K genannt. Das Paar L und K bezeichnet man als… …   Deutsch Wikipedia

  • Erweiterungskörper — In der abstrakten Algebra ist ein Unterkörper eines Körpers L eine Teilmenge , die 0 und 1 enthält und mit den auf K eingeschränkten Verknüpfungen selbst ein Körper ist. L wird dann Oberkörper von K genannt. Das Paar L und K bezeichnet man als… …   Deutsch Wikipedia

  • Formale Potenzreihe — Formale Potenzreihen in der Mathematik sind ein Analogon zu den Potenzreihen der Analysis, ignorieren jedoch im Gegensatz zu diesen sämtliche Konvergenzfragen. Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Weiterführende Themen …   Deutsch Wikipedia

  • Galois-Erweiterung — In der abstrakten Algebra ist ein Unterkörper eines Körpers L eine Teilmenge , die 0 und 1 enthält und mit den auf K eingeschränkten Verknüpfungen selbst ein Körper ist. L wird dann Oberkörper von K genannt. Das Paar L und K bezeichnet man als… …   Deutsch Wikipedia

  • Galois-Feld — Ein endlicher Körper oder Galoiskörper ist eine Menge mit einer endlichen Anzahl von Elementen, auf der die Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division definiert sind. Die Bezeichnung Galoiskörper leitet sich vom Namen des …   Deutsch Wikipedia

  • Galois-Körper — Ein endlicher Körper oder Galoiskörper ist eine Menge mit einer endlichen Anzahl von Elementen, auf der die Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division definiert sind. Die Bezeichnung Galoiskörper leitet sich vom Namen des …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”