Restklassenkörper

Restklassenkörper

Restklassenkörper spielen in verschiedenen Bereichen der Algebra und Zahlentheorie eine wichtige Rolle. In ihrer einfachsten Form sind sie die mathematische Abstraktion des Restes bei der Division durch eine Primzahl; in einer komplizierteren Fassung geben sie die lokale Struktur eines geometrischen Objektes in einem Punkt an.

Restklassenkörper modulo einer Primzahl

Ist p eine Primzahl, so ist der Restklassenring \mathbb Z/p\mathbb Z ein Körper, genauer ein endlicher Körper mit p Elementen. Er wird Restklassenkörper modulo p genannt und üblicherweise mit \mathbb F_p bezeichnet; man beachte jedoch, dass es auch endliche Körper \mathbb F_{p^2},\mathbb F_{p^3},\ldots gibt, die mit den jeweiligen Restklassenringen nichts zu tun haben.

Für weitere Details zu endlichen Körpern siehe endlicher Körper.

Restklassenkörper lokaler Ringe

Ist A ein lokaler Ring mit maximalem Ideal \mathfrak m, so heißt der Faktorring A/\mathfrak m (der als Faktorring eines maximalen Ideals ein Körper ist) der Restklassenkörper von A.

Ist K ein diskret bewerteter Körper mit Bewertungsring \mathcal O und uniformisierendem Element π, dann bezeichnet man \mathcal O/\pi als Restklassenkörper von K.

Restklassenkörper von Punkten auf Schemata

Ist X ein Schema und x\in X ein Punkt, so heißt der Restklassenkörper des lokalen Ringes \mathcal O_{X,x} der Restklassenkörper von X in x und wird häufig mit κ(x) bezeichnet.

Ist X ein Schema über einem Körper k, so sind alle Restklassenkörper von X Körpererweiterungen von k. Ist X / k lokal endlichen Typs und x\in X ein abgeschlossener Punkt, so ist κ(x) eine endliche Erweiterung von k; dies ist im Wesentlichen die Aussage des hilbertschen Nullstellensatzes.


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