Retrakt

Retrakt

In der Kategorientheorie versteht man unter einer Retraktion einen Morphismus f, der ein Rechtsinverses besitzt, das heißt, zu dem es einen Morphismus g gibt mit f o g = id.

Ein Objekt X einer Kategorie \mathcal{C} heißt Retrakt eines Objekts Y\in |\mathcal{C}|, wenn es in \mathcal{C} einen Pfeil f\colon X\to Y und eine Retraktion r\colon Y\to X zu f, also einen Pfeil r mit r\circ f=id_X, gibt.

Inhaltsverzeichnis

Topologische Räume

In der Topologie, also in der Kategorie Top, versteht man unter einer Retraktion eine stetige Funktion f: X \to X, derart, dass f auf einer Teilmenge Y von X die Identität ist, also f alle Punkte von Y unverändert lässt, mit anderen Worten: f(y)=y für alle y aus Y.

Spezielle Kategorien

Topologische Räume

Ein Teilraum A eines topologischen Raums X heißt Retrakt von X, wenn es eine Retraktion r zur Einbettung i\colon A\to X gibt.

A ist genau dann Retrakt von X, wenn jede stetige Abbildung f\colon A\to Y stetig zu einer Abbildung g\colon X\to Y fortgesetzt werden kann:

  • Gibt es eine Retraktion r\colon X\to A, so ist g := f \circ r stetige Fortsetzung.
  • Eine Fortsetzung von idA zu einer stetigen Abbildung r\colon X\to A ist eine Retraktion.

Deformationsretrakt

A heißt Deformationsretrakt, wenn i\circ r homotop zu idX relativ A ist.

Deformationsretraktionen sind spezielle Homotopieäquivalenzen, die diese Äquivalenzrelation erzeugen.

Pfeilkategorie

Ein Pfeil f ist Retrakt eines Pfeils g, wenn es eine natürliche Transformation \eta\colon f\to g und eine Retraktion r\colon g\to f gibt, also das folgende Diagramm kommutiert:

Bild:Retrakt.png


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Retrákt — (lat.), s. Näherrecht …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Retrákt — (lat.), Näherrecht, auch Einstand, Abtrieb, Losung etc., im allgemeinen die aus Übereinkunft, Testament oder gesetzlicher Vorschrift entspringende Befugnis jemandes (Retrahént, Nähergelter), eine fremde, von ihrem Eigentümer an einen Dritten… …   Kleines Konversations-Lexikon

  • Retrakt — Re|trạkt, der; [e]s, e [lat. retractus = das Zurückziehen, zu: retrahere, ↑Retraite] (Rechtsspr. veraltet): Näherrecht …   Universal-Lexikon

  • Retrakt — Re|trakt [re...] der; [e]s, e <zu lat. retractus, Part. Perf. von retrahere, vgl. ↑Retraite> (veraltet) Befugnis, eine fremde, von einem Eigentümer an einen Dritten verkaufte Sache von diesem u. jedem weiteren Besitzer zum ursprünglichen… …   Das große Fremdwörterbuch

  • Retraktion — In der Kategorientheorie versteht man unter einer Retraktion einen Morphismus f, der ein Rechtsinverses besitzt, das heißt, zu dem es einen Morphismus g gibt mit f o g = id. Ein Objekt X einer Kategorie heißt Retrakt eines Objekts , wenn es in… …   Deutsch Wikipedia

  • Homotop — Eine Homotopie, die eine Kaffeetasse in einen Donut überführt. (Torus). In der Topologie ist eine Homotopie eine stetige Deformation zwischen zwei Abbildungen von einem topologischen Raum in einen anderen, beispielsweise die Deformation einer… …   Deutsch Wikipedia

  • Homotopieäquivalenz — Eine Homotopie, die eine Kaffeetasse in einen Donut überführt. (Torus). In der Topologie ist eine Homotopie eine stetige Deformation zwischen zwei Abbildungen von einem topologischen Raum in einen anderen, beispielsweise die Deformation einer… …   Deutsch Wikipedia

  • Inverse Abbildung — Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion einer bijektiven Funktion ist die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist. (Bei bijektiven Funktionen hat die Urbildmenge jedes Elements genau ein… …   Deutsch Wikipedia

  • Inverse Funktion — Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion einer bijektiven Funktion ist die Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist. (Bei bijektiven Funktionen hat die Urbildmenge jedes Elements genau ein… …   Deutsch Wikipedia

  • Isotopie (Topologie) — Eine Homotopie, die eine Kaffeetasse in einen Donut überführt. (Torus). In der Topologie ist eine Homotopie eine stetige Deformation zwischen zwei Abbildungen von einem topologischen Raum in einen anderen, beispielsweise die Deformation einer… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”