Rotation (Mathematik)


Rotation (Mathematik)

Die Rotation ist ein Ableitungsoperator, der Vektorfelder im dreidimensionalen Raum ableitet und als Ergebnis wieder ein Vektorfeld liefert. Handelt es sich beispielsweise um ein Strömungsfeld, so gibt die Rotation für jeden Ort die doppelte Winkelgeschwindigkeit an, mit der ein mitschwimmender Körper rotiert, also wie schnell und um welche Achse er sich dreht. Dieser Zusammenhang ist namensgebend.

Geschwindigkeitsfeld einer rotierenden Scheibe (ω < 0)

Es muss sich aber nicht immer um ein Geschwindigkeitsfeld und eine Drehbewegung handeln; beispielsweise betrifft das Induktionsgesetz die Rotation des elektrischen Feldes.

Ein Vektorfeld, dessen Rotation in einem Gebiet überall gleich Null ist, nennt man wirbelfrei oder, insbesondere bei Kraftfeldern, konservativ. Ist das Gebiet einfach zusammenhängend, so ist das Vektorfeld genau dann der Gradient einer Funktion, wenn die Rotation des Vektorfeldes im betrachteten Gebiet gleich Null ist.

Die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist gleich Null. Umgekehrt ist in einfach zusammenhängenden Gebieten ein Feld, dessen Divergenz gleich Null ist, die Rotation eines anderen Vektorfeldes.

Beispiele:

  • Das Vektorfeld, das an jedem Ort die Windgeschwindigkeit eines Wirbelsturms angibt, hat in der Umgebung des Auges eine von Null verschiedene Rotation.
  • Das Vektorfeld 
\mathbf v(x, y, z) =
\omega\cdot(x\,\mathbf{e}_y-y\,\mathbf{e}_x)\,,
das an jedem Punkt einer rotierenden Scheibe die Geschwindigkeit angibt, hat an jedem Punkt dieselbe von Null verschiedene Rotation. Die Rotation beträgt das Zweifache der Winkelgeschwindigkeit, \mathbf{\operatorname{rot}}\,\mathbf v(x,y,z) = 2\,\omega \,\mathbf e_z\,.
  • Das Kraftfeld, das an jedem Punkt die Gravitationskraft der Sonne auf ein Testteilchen angibt, ist wirbelfrei. Das Kraftfeld ist der negative Gradient der potentiellen Energie des Teilchens.

Inhaltsverzeichnis

Rotation in kartesischen Koordinaten

Seien (x,y,z) die kartesischen Koordinaten des dreidimensionalen euklidischen Raumes und \mathbf e_x\,, \mathbf e_y und \mathbf e_z die normierten, zueinander senkrechten Basisvektoren, die an jedem Punkt in Richtung der zunehmenden Koordinaten zeigen.

Die Rotation eines dreidimensionalen, differenzierbaren Vektorfeldes

\mathbf F(x,y,z)=F_x(x,y,z)\, \mathbf e_x + F_y(x,y,z)\,\mathbf e_y  + F_z(x,y,z)\,\mathbf e_z

ist das dreidimensionale Vektorfeld

\mathbf{\operatorname{rot}}\,\mathbf F(x,y,z) = 
\left (\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right )\mathbf e_x
 +
\left (\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right )\mathbf e_y
 +
\left (\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right )\mathbf e_z
\,.

Als Merkregel kann man \operatorname{rot}\, \mathbf F als Determinante einer Matrix auffassen, deren erste Spalte die kartesischen Basisvektoren enthält, die zweite die partiellen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten und die dritte die zu differenzierenden Komponentenfunktionen

\operatorname{rot}\,\mathbf F =\operatorname{det}\,
\begin{pmatrix}
\mathbf e_x & \frac{\partial}{\partial x} & F_x\\
\mathbf e_y & \frac{\partial}{\partial y} & F_y\\
\mathbf e_z & \frac{\partial}{\partial z} & F_z
 \end{pmatrix}\,=\operatorname{det}\,
\begin{pmatrix}
\mathbf e_x & \mathbf e_y & \mathbf e_z\\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
F_x & F_y & F_z
\end{pmatrix}\,.

Allerdings sind hier die verschiedenen Spalten nicht Vektoren desselben Vektorraumes.

Geben wir die Vektoren als Spaltenvektoren ihrer kartesischen Komponenten an, dann ist \mathbf{\operatorname{rot}}\,\mathbf F das Kreuzprodukt des Spaltenvektors der partiellen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten, des Nabla-Operators \nabla, mit dem Spaltenvektor der kartesischen Komponentenfunktionen

\mathbf{\operatorname{rot}}\,\mathbf F(x,y,z) = \nabla\times\mathbf F =
\begin{pmatrix}
  \frac{\partial}{\partial x} \\
  \frac{\partial}{\partial y} \\
  \frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
  F_x\\
  F_y\\
  F_z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\
  \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\
  \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
\end{pmatrix}\,.

Rotation in Kugelkoordinaten

Schreibt man das Vektorfeld in Kugelkoordinaten (r,θ,φ) als Linearkombination

\mathbf F(r,\theta,\varphi)=F_r(r,\theta,\varphi)\, \mathbf e_r + F_{\theta}(r,\theta,\varphi)\,\mathbf e_\theta  + F_\varphi(r,\theta,\varphi)\,\mathbf e_\varphi

der auf Einheitslänge normierten Vektoren


\begin{align}
\mathbf e_r &= 
\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
\,,\\
\mathbf e_\theta &=
\frac{1}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2)}}
\begin{pmatrix}
z\,x\\z\,y\\-x^2-y^2
\end{pmatrix}\,,\\
\mathbf e_\varphi &=
\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}
\begin{pmatrix}
-y\\x\\0
\end{pmatrix}
\,,
\end{align}

die an jedem Punkt in Richtung zunehmender r,\theta,\varphi-Koordinaten zeigen, so ist die Rotation


\begin{align}
\operatorname{rot}\,\mathbf F = \,
  &\frac{1}{r \sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \theta} \left( F_\varphi \sin \theta \right) - \frac{\partial F_\theta}{\partial \varphi }\right]\mathbf e_r
+
 \left [ \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial F_r}{\partial \varphi} - \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\varphi \right)\right]\mathbf e_\theta  \,\,+\\
&+
  \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\theta \right) - \frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right] \mathbf e_\varphi
\,.
\end{align}

Rotation in Zylinderkoordinaten

Gibt man das Vektorfeld in Zylinderkoordinaten (r,φ,z) als Linearkombination

\mathbf F(r,\varphi,z)=F_r(r,\varphi,z)\, \mathbf e_r +   F_\varphi(r,\varphi,z)\,\mathbf e_\varphi +F_{z}(r,\varphi,z)\,\mathbf e_z

der Vektoren


\begin{align}
\mathbf e_r &= 
\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}
\begin{pmatrix}
x\\y\\0
\end{pmatrix}
\,,\\
\mathbf e_\varphi &=
\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}
\begin{pmatrix}
-y\\x\\0
\end{pmatrix}\,,\\
\mathbf e_z &=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}
\,,
\end{align}

an, die auf Einheitslänge normiert an jedem Punkt in Richtung zunehmender r,φ,z-Koordinaten zeigen, so ist die Rotation


\begin{align}
\operatorname{rot}\,\mathbf F = 
&\left[ \frac 1 r \frac {\partial F_z}{\partial \varphi}
- \frac{\partial F_\varphi}{\partial z}
\right]\mathbf e_r
+\left [
\frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r}
\right ]\mathbf e_\varphi \,+ \\
&+ \frac 1 r \left[
\frac \partial {\partial r} \left( r \cdot F_\varphi \right)
- \frac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right]\mathbf e_z\,.
\end{align}

Axialvektorfeld

Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Pseudovektorfeld. Ein Vektorfeld geht bei Spiegelung am Ursprung in sein negatives am gespiegelten Ort über, die Rotation des Vektorfeldes ändert bei dieser Spiegelung ihr Vorzeichen nicht,

 \mathbf F^\prime(\mathbf x) = - \mathbf F(-\mathbf x)\,,\ \bigl(\operatorname{rot}\,\mathbf F^\prime\bigr)(\mathbf x) = \bigl(\operatorname{rot}\,\mathbf F\bigr)(-\mathbf x)\,.

Vektorfeld in zwei Dimensionen

Ein Vektorfeld im zweidimensionalen, euklidischen Raum kann als Vektorfeld

\mathbf F(x,y,z)=F_x(x,y)\, \mathbf e_x + F_y(x,y)\,\mathbf e_y

in drei Dimensionen aufgefasst werden, das nicht von der dritten Koordinate abhängt und dessen dritte Komponente verschwindet. Seine Rotation ist kein Vektorfeld dieser Art, sondern hat eine dritte Komponente,

\mathbf{\operatorname{rot}}\,\mathbf F(x,y,z) = 
\left (\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right )\mathbf e_z
\,.

Definiert man in zwei Dimensionen die Rotation als den Differentialoperator

\mathbf{\operatorname{rot}}:\ \mathbf F \mapsto
\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
\,,

dann ist das Ergebnis eine skalare Funktion, nicht ein Vektorfeld.

Zusammenhang zur Winkelgeschwindigkeit

Wir betrachten einfachheitshalber die Drehung eines starren Körpers um die z-Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \omega\,. Dabei wächst der Drehwinkel φ gleichmäßig mit der Zeit an, \varphi = \omega\,t\,, und jeder Punkt durchläuft eine Bahn

\begin{pmatrix}
x(t)\\y(t)\\z(t)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos(\omega\,t)\,x(0) -\sin(\omega\,t)\,y(0)\\
\sin(\omega\,t)\,x(0) +\cos(\omega\,t)\,y(0)\\
z(0)
\end{pmatrix}\,.

Die Geschwindigkeit beträgt


\frac{\mathrm d}{\mathrm d\,t}
\begin{pmatrix}
x(t)\\y(t)\\z(t)
\end{pmatrix}
=\omega\,
\begin{pmatrix}
-\sin(\omega\,t)\,x(0) -\cos(\omega\,t)\,y(0)\\
\ \cos(\omega\,t)\,x(0) -\sin(\omega\,t)\,y(0)\\
0
\end{pmatrix}=
\omega\,
\begin{pmatrix}
-y(t)\\x(t)\\0
\end{pmatrix}
\,.

Das Geschwindigkeitsfeld einer starren Drehung um die z-Achse ist also, wie oben im Beispiel angegeben,

\mathbf v(x,y,z) = \omega\,(-y\,\mathbf e_x + x \, \mathbf e_y)\,.

Seine Rotation ist die doppelte Winkelgeschwindigkeit

\operatorname{rot}\,\mathbf v = 2\,\omega\,\mathbf e_z\,.

Zerlegung in quellen- und wirbelfreien Teil

Zweifach stetig differenzierbare Vektorfelder \mathbf v(\mathbf r), die mit ihren Ableitungen für große Abstände hinreichend rasch gegen Null gehen, kann man eindeutig in einen wirbelfreien Teil \mathbf E\,,\ \operatorname{rot}\,\mathbf E = 0\,, und einen quellenfreien Teil \mathbf B\,,\ \operatorname{div}\,\mathbf B = 0\,, zerlegen,


\begin{align}
\mathbf v &=\mathbf E +\mathbf B\,,\ &\mathbf E  = -\operatorname{grad}\,\phi\,,\ \mathbf B  = \operatorname{rot}\,\mathbf A\,,
\\ \phi (\mathbf x)&=\frac 1 {4\,\pi}\int\!{\mathrm d}^{3}y\,\,
\frac{\operatorname{div}\,\mathbf v(\mathbf y)}{|\mathbf x -\mathbf y|}\,,\ &\mathbf A(\mathbf x)=\frac 1 {4\,\pi}\int\!{\mathrm d}^{3}y\,\,
\frac{\operatorname{rot}\,\mathbf v(\mathbf y)}{|\mathbf x -\mathbf y|}
\,.
\end{align}

Dabei bezeichnen \operatorname{div} die Divergenz und \operatorname{grad} den Gradienten.

Diese Zerlegung ist Bestandteil des Helmholtz-Theorems.

Rechenregeln

Die Rotation ist linear. Für alle Konstanten c\in\R und differenzierbare Vektorfelder \mathbf{F} und \mathbf{G} gilt


 \operatorname{rot}\,(c \,\mathbf{F}+\mathbf G)
  = c\,\operatorname{rot}\,\mathbf{F} + \operatorname{rot}\,\mathbf{G}\,.

Die Rotation eines Vektorfeldes verschwindet genau dann, wenn es ein Gradientenfeld ist. Die Divergenz eines Vektorfeldes verschwindet genau dann, wenn es die Rotation eines anderen Feldes ist,


  \operatorname{rot}~\operatorname{grad}\,f= 0\,,\ \operatorname{div}~\operatorname{rot}\,\mathbf F= 0\,.

Für differenzierbare Funktionen f\, und Vektorfelder \mathbf{F} und \mathbf{G} gelten die Produktregeln


\operatorname{rot}\,(f\,\mathbf{F}) = f\,\operatorname{rot}\,\mathbf{F} + (\operatorname{grad}\,f)\,\times \mathbf{F}\,,

\operatorname{rot}\,(\mathbf{F}\times\mathbf{G})
 =
\left(\mathbf{G}\cdot\operatorname{grad}\right)\mathbf{F} - \left(\mathbf{F}\cdot\operatorname{grad}\right)\mathbf{G} + \mathbf{F}\,(\operatorname{div}\,\mathbf{G}) - \mathbf{G}\,(\operatorname{div}\,\mathbf{F})\,.

Für die zweifache Anwendung der Rotation gilt


 \operatorname{rot}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{F}=
\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\,\mathbf{F} - \Delta \,\mathbf{F}\,
,\quad \Delta = 
  \frac {\partial^2} {\partial x^2}
+ \frac {\partial^2} {\partial y^2}
+ \frac {\partial^2} {\partial z^2}\,.

Für einen Vektor  \boldsymbol{v} , der von einem Skalar  s\!\, abhängt, und dieser in 3D vom Ort, gilt die Kettenregel


\operatorname{rot}\, \boldsymbol{v} ( s ) = \operatorname{grad}\,s \times \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}s}.

Integralsatz von Stokes

Hauptartikel → Satz von Stokes

Das Integral über eine Fläche \mathcal F über die Rotation eines Vektorfeldes \mathbf A ist nach dem Satz von Stokes gleich dem Kurvenintegral über die Randkurve \partial \mathcal F über \mathbf A\,,

 \iint_{\mathcal F}\!\!\mathrm d^2 \mathbf f\cdot \operatorname{rot}\,\mathbf {A} = \oint_{\partial \mathcal F}\!\!\mathrm{d}\mathbf x\cdot \mathbf {A}\,.

Durch das Doppelintegral wird links betont, dass man von einer zweidimensionalen Integration ausgeht. Auf der rechten Seite soll das Kreissymbol im Integralzeichen unterstreichen, dass es sich um ein Integral über einen geschlossenen Weg handelt. Die Orientierung entspricht dabei der Drei-Finger-Regel: die folgenden drei Vektoren, nämlich erstens der Vektor \mathrm d^2\mathbf f in Richtung der Flächennormalen, zweitens der Vektor \mathrm d\mathbf x in Tangentialrichtung und drittens der vom Rand in die Fläche zeigenden Vektor, entsprechen Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, das heißt sie bilden ein Rechtssystem. Oft schreibt man \mathrm d^2\mathbf f=\mathbf n\,\mathrm d^2 \mathrm f\, indem man mit \mathbf n die Richtung der Größe hervorhebt. Das ist für das Folgende wichtig:

Koordinatenunabhängige Definition der Rotation

Zu dem Integralsatz von Stokes passt die koordinatenunabhängige Definition der Rotation als infinitesimale Flächendichte der Zirkulation (alias „Wirbeldichte“):

\mathbf n\cdot\mathrm{rot\,\,}\mathbf A\,:=\,\lim_{\Delta \mathcal F\to 0}\,\left (\frac{\oint_{\partial \Delta \mathcal F}\mathrm d\mathbf x\cdot\mathbf A}{\Delta \mathcal F}\right )\,.

Dabei ist \Delta\mathcal F eine infinitesimale Fläche senkrecht zu \mathbf n\,.

Aus dieser Formel ergibt sich unter anderem, dass allgemein für krummlinige orthogonale Koordinaten (z. B. für sphärische oder zylindrische Polarkoordinaten, elliptische oder parabolische Koordinaten usw.) die folgende nützliche Beziehung gilt:

(\rm{rot\,}\,\mathbf A)\,_3=\frac{1}{a_1a_2}\cdot\left (\frac{\partial (a_1A_2)}{\partial u_1}-\frac{\partial (a_2A_1)}{\partial u_2}\right )\,.

Dabei ist \mathrm d\mathbf x=\sum_{i=1}^3\,\mathrm a_i\,\mathrm du_i\mathbf e_i\,, mit den orthonormierten Einheitsvektoren \mathbf e_i und den infinitesimalen Längen \mathrm dl_i:=\mathrm a_i\,\mathrm du_i\,. Die zwei anderen Komponenten der Rotation ergeben sich durch zyklische Vertauschung der Indizes (3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1). Die Basisvektoren \mathbf e_i, die Längenparameter ai und die Vektorkomponenten Ai können von allen drei u-Variablen abhängen.

Eine weitere Folgerung aus der koordinatenunabhängigen Definition ist, dass das Vektorfeld \mathrm{rot\,}\mathbf A sich bei räumlichen Drehungen in gleicher Weise dreht wie das Vektorfeld \mathbf A\!\,. In Formeln: \mathrm{rot\,} (\mathbf A') = (\mathrm{rot\,}\mathbf A)' wobei der Strich die gedrehten Felder bezeichnet. Wegen der Gleichheit können die Klammern dann auch wieder weggelassen werden. Somit erzeugt die Rotation ein 3-dimensionales Vektorfeld im physikalischen Sinn. Zum Beweis betrachtet man eine Drehung \mathbf A \to \mathbf A' zusammen mit \mathbf n \to \mathbf n' und \mathrm d\mathbf x \to \mathrm d\mathbf x'. Durch Einsetzen in das Integral findet man 
\mathbf n'\cdot \mathrm{rot\,}(\mathbf A') = \mathbf n\cdot \mathrm{rot\,}\mathbf A
weil das Skalarprodukt \mathbf d\mathbf x  \cdot\mathbf A invariant unter Drehungen ist. Setzt man für \mathbf n' die Einheitsvektoren eines gedrehten Koordinatensystems ein, so besagt die letzte Gleichung, dass die Koordinaten von \mathrm{rot\,}(\mathbf A') in dem gedrehten System dieselben sind wie die Koordinaten von \mathrm{rot\,}\mathbf A im ursprünglichen System. Das entspricht dem behaupteten Verhalten des Rotationsfeldes.

Literatur

  • Siegfried Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik, Teubner-Verlag, ISBN 3-519-43028-2

Weblinks


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