Satz vom Igel

Beispiel für einen "gekämmten Igel" mit einem Pol

Der Satz vom Igel (auch als Satz vom gekämmten Igel bekannt, im Englischen hairy ball theorem) oder Problem des globalen Windes ist ein Resultat aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialtopologie. Diese Aussage wird auch Satz von Poincaré-Brouwer genannt, da Luitzen Egbertus Jan Brouwer diesen 1912 mit Hilfe des Satzes von Poincaré bewiesen hat.

Satz vom Igel

Auf einer Sphäre $\mathbb{S}^n$ gibt es genau dann ein tangentiales, stetiges, nirgends verschwindendes Vektorfeld, wenn n ungerade ist.

Insbesondere gibt es ein solches Vektorfeld nicht auf der 2-Sphäre (der Oberfläche der dreidimensionalen Kugel), woraus der folgende Merkspruch folgt:

Jeder stetig gekämmte Igel hat mindestens eine kahle Stelle.

Eine solche kahle Stelle wird auch als „Glatzpunkt“ bezeichnet.

Aus dem gleichen Grund kann prinzipiell nicht überall auf der Erde zugleich Wind wehen – es muss auf der Oberfläche eines dreidimensionalen kugelförmigen Planeten immer windstille Stellen geben (daher auch die Bezeichnung: Problem des globalen Windes). Eine ebene Fläche kann dagegen problemlos stetig ohne kahle Stellen gekämmt werden; ebenso ein Torus.

Der Satz vom Igel ist eine Illustration des Satzes von Poincaré-Hopf.

Literatur

• R. Abraham, Jerrold E. Marsden, & T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis and Applications., Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 0-201-10168-8