Satz von Fischer-Riesz


Satz von Fischer-Riesz

Der Satz von Fischer-Riesz ist eine Aussage aus der Funktionalanalysis. Ernst Sigismund Fischer und von Frigyes Riesz bewiesen im Jahr 1907[1] unabhängig voneinander diesen Satz. Aus diesem Grund trägt die Aussage ihre Namen. In der Literatur finden sich heute unterschiedliche Sätze, die ihren Namen tragen und zum Teil Verallgemeinerungen dieses Satzes sind.

Inhaltsverzeichnis

Klassischer Satz von Fischer-Riesz

Fischer und Riesz bewiesen die folgende Aussage. Der Raum L2([0,1]) der quadrat-integrierbaren Funktionen ist isometrisch isomorph zum Folgenraum \ell^2(\N) der quadrat-summierbaren Funktionen also

L^2([0,1]) \cong \ell^2(\N).

Dies kann man auch weniger abstrakt in der Sprache der reellen Analysis formulieren. So ist eine messbare Funktion genau dann in L2([ − π,π]), wenn ihre Fourier-Reihe bezüglich der L2-Norm konvergiert. Im Folgenden wird der L2-Raum von dem Intervall [ − π,π] gebildet, dies erspart Normierungen, jedoch ist die Aussage auch für alle anderen kompakten Intervalle richtig.

Die am N-ten Glied abgebrochene Fourier-Reihe einer quadrat-integrierbaren Funktion f ist

\mathcal{F}_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N} a_n \, \mathrm{e}^{inx},

wobei an der n-te Koeffizient der Reihe ist, welche durch

a_n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\, \mathrm{e}^{-inx}\, \mathrm{d}x

gegeben ist. Für eine quadrat-integrierbare Funktion f gilt also dann

\lim_{N \to \infty} \left \Vert \mathcal{F}_N(f) - f \right \|_{L^2} = \lim_{N \to \infty} \left \Vert \sum_{n=-N}^{N} a_n \, \mathrm{e}^{in\cdot} - f \right \|_{L^2} = 0.

Der Isomorphismus zwischen L2 und \ell^2(\N) ist also die Transformation in eine Fourier-Reihe.

Verallgemeinerter Satz von Fischer-Riesz

Oftmals findet man auch folgende, allgemeinere Aussage unter dem Namen Satz von Fischer-Riesz.

Aussage

Ist H ein Hilbertraum und \left(e_i\right)_{i\in I} eine Orthonormalbasis von H, so ist die Abbildung

\Phi:\, H \to \ell^2(I); \quad x \mapsto \left(\langle x,e_i\rangle\right)_{i\in I}

ein isometrischer Isomorphismus.

Folgerungen

  • Seien I und J zwei passende Indexmengen. Zwei Hilberträume H und K mit Orthonormalbasen \left(e_i\right)_{i\in I} und \left(e_j\right)_{j\in J} sind isometrisch isomorph, wenn I und J die gleiche Kardinalität haben.
  • Da jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (Anwendung von Zorns Lemma), folgt daraus, dass es bis auf Isomorphie genauso viele Hilberträume gibt wie Kardinalzahlen.

Vollständigkeit der Lp-Räume

Hauptartikel: Dualität von Lp-Räumen

Die Aussage, dass die Lp(Ω,μ)-Räume für 1 \leq p \leq \infty mit der Norm

 \|f\|_p := \left(\int_\Omega |f(x) |^p\,d\mu(x)\right)^{1/p}

Banachräume also insbesondere vollständig sind, wird auch oftmals auch als Satz von Fischer-Riesz bezeichnet.

Für den Fall p = 2 und μ als Lebesgue-Maß folgt dies nämlich aus dem Beweis des (klassischen) Satzes von Fischer-Riesz. So konvergiert die Folge \textstyle a_n := \int_\Omega f(x)\, \mathrm{e}^{-inx}\, \mathrm{d}\mu(x) genau dann in \ell^2, wenn f eine L2-Funktion ist.

Einzelnachweise

  1. Sur les systèmes orthogonaux de fonctions, C. R. Paris 144 (1907) 615-619

Literatur


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Satz von Riesz-Fischer — Der rieszsche Darstellungssatz (nach Frigyes Riesz) charakterisiert in der Mathematik den Dualraum der Banachräume Lp, beziehungsweise in seiner Version auf C0(X) dem Dualraum der stetigen Funktionen auf einem lokalkompaktem Hausdorff Raum. Er… …   Deutsch Wikipedia

  • Riesz — ist der Familienname der Brüder und ungarischen Mathematiker Frigyes Riesz (1880–1956) und Marcel Riesz (1886–1969). Nach Frigyes Riesz benannt sind Riesz Raum Lemma von Riesz Rieszscher Darstellungssatz Vollständigkeitssatz von Riesz Satz von… …   Deutsch Wikipedia

  • Riesz —   [riːs], Frigyes (Frédéric), ungarischer Mathematiker, * Raab 22. 1. 1880, ✝ Budapest 28. 2. 1956; 1912 Professor in Klausenburg, 1920 in Szeged, ab 1946 in Budapest. Riesz lieferte grundlegende Untersuchungen zur Theorie der reellen Funktionen …   Universal-Lexikon

  • Ernst Sigismund Fischer — (* 12. Juli 1875 in Wien; † 14. November 1954 in Köln) war ein österreichischer Mathematiker, der sich mit Analysis und Algebra beschäftigte. Inhaltsverzeichnis 1 Leben und Wirken 2 Literatur …   Deutsch Wikipedia

  • Frederic Riesz — Frigyes Riesz Frigyes Riesz [ˈfriɟɛʃ ri:s] (Vorname auch dt. Friedrich oder frz. Frédéric, * 22. Januar 1880 in Győr; † 28. Februar 1956 in Budapest) war ein ungarischer Mathematiker, der wesentliche Beiträge zur Funktionala …   Deutsch Wikipedia

  • Friedrich Riesz — Frigyes Riesz Frigyes Riesz [ˈfriɟɛʃ ri:s] (Vorname auch dt. Friedrich oder frz. Frédéric, * 22. Januar 1880 in Győr; † 28. Februar 1956 in Budapest) war ein ungarischer Mathematiker, der wesentliche Beiträge zur Funktionala …   Deutsch Wikipedia

  • Frigyes Riesz — [ˈfriɟɛʃ ri:s] (Vorname auch dt. Friedrich oder frz. Frédéric, * 22. Januar 1880 in Győr; † 28. Februar 1956 in Budapest) war ein ungarischer Mathematiker, der wesentliche Beiträge zur …   Deutsch Wikipedia

  • Hausdorff — Felix Hausdorff (Fotografie zwischen 1913 und 1921 entstanden) Felix Hausdorff (* 8. November 1868 in Breslau; † 26. Januar 1942 in Bonn) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als Mitbegründer der allgemeinen Topologie und lieferte wesentliche… …   Deutsch Wikipedia

  • Mongré — Felix Hausdorff (Fotografie zwischen 1913 und 1921 entstanden) Felix Hausdorff (* 8. November 1868 in Breslau; † 26. Januar 1942 in Bonn) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als Mitbegründer der allgemeinen Topologie und lieferte wesentliche… …   Deutsch Wikipedia

  • Paul Mongré — Felix Hausdorff (Fotografie zwischen 1913 und 1921 entstanden) Felix Hausdorff (* 8. November 1868 in Breslau; † 26. Januar 1942 in Bonn) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als Mitbegründer der allgemeinen Topologie und lieferte wesentliche… …   Deutsch Wikipedia