Satz von Fischer-Riesz

Der Satz von Fischer-Riesz ist eine Aussage aus der Funktionalanalysis. Ernst Sigismund Fischer und von Frigyes Riesz bewiesen im Jahr 1907^[1] unabhängig voneinander diesen Satz. Aus diesem Grund trägt die Aussage ihre Namen. In der Literatur finden sich heute unterschiedliche Sätze, die ihren Namen tragen und zum Teil Verallgemeinerungen dieses Satzes sind.

Klassischer Satz von Fischer-Riesz

Fischer und Riesz bewiesen die folgende Aussage. Der Raum L²([0,1]) der quadrat-integrierbaren Funktionen ist isometrisch isomorph zum Folgenraum $\ell^2(\N)$ der quadrat-summierbaren Funktionen also

$L^2([0,1]) \cong \ell^2(\N).$

Dies kann man auch weniger abstrakt in der Sprache der reellen Analysis formulieren. So ist eine messbare Funktion genau dann in L²([ − π,π]), wenn ihre Fourier-Reihe bezüglich der L²-Norm konvergiert. Im Folgenden wird der L²-Raum von dem Intervall [ − π,π] gebildet, dies erspart Normierungen, jedoch ist die Aussage auch für alle anderen kompakten Intervalle richtig.

Die am N-ten Glied abgebrochene Fourier-Reihe einer quadrat-integrierbaren Funktion f ist

$\mathcal{F}_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N} a_n \, \mathrm{e}^{inx},$

wobei a_n der n-te Koeffizient der Reihe ist, welche durch

$a_n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\, \mathrm{e}^{-inx}\, \mathrm{d}x$

gegeben ist. Für eine quadrat-integrierbare Funktion f gilt also dann

$\lim_{N \to \infty} \left \Vert \mathcal{F}_N(f) - f \right \|_{L^2} = \lim_{N \to \infty} \left \Vert \sum_{n=-N}^{N} a_n \, \mathrm{e}^{in\cdot} - f \right \|_{L^2} = 0.$

Der Isomorphismus zwischen L² und $\ell^2(\N)$ ist also die Transformation in eine Fourier-Reihe.

Verallgemeinerter Satz von Fischer-Riesz

Oftmals findet man auch folgende, allgemeinere Aussage unter dem Namen Satz von Fischer-Riesz.

Aussage

Ist H ein Hilbertraum und $\left(e_i\right)_{i\in I}$ eine Orthonormalbasis von H, so ist die Abbildung

$\Phi:\, H \to \ell^2(I); \quad x \mapsto \left(\langle x,e_i\rangle\right)_{i\in I}$

ein isometrischer Isomorphismus.

Folgerungen

• Seien I und J zwei passende Indexmengen. Zwei Hilberträume H und K mit Orthonormalbasen $\left(e_i\right)_{i\in I}$ und $\left(e_j\right)_{j\in J}$ sind isometrisch isomorph, wenn I und J die gleiche Kardinalität haben.

• Da jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (Anwendung von Zorns Lemma), folgt daraus, dass es bis auf Isomorphie genauso viele Hilberträume gibt wie Kardinalzahlen.

• Aus dem Satz lässt sich folgern, dass jeder separable unendlichdimensionale Hilbertraum zum Folgenraum $\ell^2(\mathbb{N})$ isometrisch isomorph ist.

Vollständigkeit der L^p-Räume

→ Hauptartikel: Dualität von L^p-Räumen

Die Aussage, dass die L^p(Ω,μ)-Räume für $1 \leq p \leq \infty$ mit der Norm

$\|f\|_p := \left(\int_\Omega |f(x) |^p\,d\mu(x)\right)^{1/p}$

Banachräume also insbesondere vollständig sind, wird auch oftmals auch als Satz von Fischer-Riesz bezeichnet.

Für den Fall p = 2 und μ als Lebesgue-Maß folgt dies nämlich aus dem Beweis des (klassischen) Satzes von Fischer-Riesz. So konvergiert die Folge $\textstyle a_n := \int_\Omega f(x)\, \mathrm{e}^{-inx}\, \mathrm{d}\mu(x)$ genau dann in $\ell^2$, wenn f eine L²-Funktion ist.

Einzelnachweise

1. ↑ Sur les systèmes orthogonaux de fonctions, C. R. Paris 144 (1907) 615-619

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6
• H. Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag, 2006, ISBN 3-8351-0026-2, enthält historische Bemerkungen