Satz von Heine

Satz von Heine

Der Satz von Heine (nach Eduard Heine; oder auch Satz von Heine-Cantor) aus der reellen Analysis macht eine Aussage über stetige Funktionen. Er wurde 1872 von Eduard Heine bewiesen[1] und nach ihm benannt, nach Aussage von Jürgen Heine wurde diese Tatsache jedoch schon zuvor von Karl Weierstraß entdeckt.[2]

Inhaltsverzeichnis

Aussage

Ist eine Funktion f im kompakten Intervall [a,b] stetig, dann ist sie dort sogar gleichmäßig stetig.

Mit anderen Worten: Zu einem beliebigen \varepsilon > 0 existiert ein δ = δ(ε) > 0 derart, dass für zwei beliebige Stellen x1 und x2 aus dem Intervall [a,b] mit | x2x1 | < δ gilt:

| f(x2) − f(x1) | < ε.

Beweis

Ein typischer Beweis erfolgt durch Widerspruch. Ist f nicht gleichmäßig stetig, so gibt es ein \varepsilon > 0 und zu jedem n \in \mathbb{N} Punkte x_n, x_n' \in [a,b], so dass

| x_n - x_n' | < \frac{1}{n} und | f(x_n) - f(x_n') | \geq \varepsilon.

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die beschränkte Folge (x_n)_{n\in\mathbb{N}} eine konvergente Teilfolge (x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}, deren Grenzwert x im Intervall [a,b] enthalten ist. Dieser ist wegen

|x_{n_k} - x_{n_k}' | < \frac{1}{n_k}

ebenfalls Grenzwert der Folge (x_{n_k}')_{k\in\mathbb{N}}. Aus der Stetigkeit von f folgt f(x_{n_k})\to f(x) und f(x_{n_k}')\to f(x). Daher gibt es ein k0, so dass | f(x_{n_k}) - f(x) | < \varepsilon/2 und | f(x_{n_k}') - f(x) | < \varepsilon/2 für alle k\ge k_0. Daraus folgt nun

| f(x_{n_k}) - f(x_{n_k}') | = | (f(x_{n_k}) - f(x)) +(f(x) - f(x_{n_k}')) | \leq | (f(x_{n_k}) - f(x))| + |(f(x) - f(x_{n_k}')) | <\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon  für alle k\ge k_0,

im Widerspruch zu |f(x_{n_k}) - f(x_{n_k}') | \geq \varepsilon für alle k. Daher war die gemachte Annahme falsch und es folgt die gleichmäßige Stetigkeit.

Verallgemeinerung

Mit einem nahezu identischen Beweis verallgemeinert sich dieser Satz auf kompakte metrische Räume:

Ist K ein kompakter metrischer Raum, M ein metrischer Raum und f:K\rightarrow M stetig, so ist f gleichmäßig stetig.

Gegenbeispiel

Für nicht-kompakte Intervalle ist der Satz von Heine falsch. Die Funktion f:(0,1]\rightarrow \R, x \mapsto \tfrac{1}{x} ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. In der Tat gibt es zu ε = 1 kein δ > 0, das die Bedingung der gleichmäßigen Stetigkeit erfüllt. Ist nämlich δ > 0 beliebig, so gibt es n\in\N mit \tfrac{1}{n} < \delta. Dann folgt

\left|\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right| = \frac{1}{n(n+1)} < \delta,

aber

\left|f\left(\frac{1}{n+1}\right)-f\left(\frac{1}{n}\right)\right| = |(n+1)-n| = 1 \ge \varepsilon.

Also kann f nicht gleichmäßig stetig sein.

Einzelnachweise

  1. E. Heine: Die Elemente der Funktionenlehre. Journal für die Mathematik von C.W. Borchardt, LXXIV:172-188, Berlin 1872
  2. J. Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-24914-2.

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