Satz von Liouville (Differentialgeometrie)
- Satz von Liouville (Differentialgeometrie)
-
Der Satz von Liouville ist ein Resultat aus der klassischen Differentialgeometrie. Benannt wurde dieser nach dem Mathematiker Joseph Liouville. Das Resultat liefert eine Formel zur Berechnung der geodätischen Krümmung von Flächenkurven. Manchmal wird dieses Resultat auch Formel von Liouville genannt.
Aussage
Sei S eine orientierte differenzierbare Fläche und sei 
eine Umgebung von 
mit einer orthogonalen Parameterdarstellung x(u,v). Sei außerdem c eine nach der Bogenlänge parametrisierte Darstellung einer regulären Kurve und φ(s) werde der Winkel zwischen 
und 
bezeichnet. Dann gilt
Dabei bezeichnen κg,u und κg,v die geodätischen Krümmungen bezüglichen der Koordinatenlinien. Das heißt bei κg,u ist die Krümmung von x(u,v), wobei v konstant gewählt wird und die Kurve somit nur noch von u abhängt. Das analoge ist bei κg,v gemeint.
Literatur
- Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1976, ISBN 0-13-212589-7
Wikimedia Foundation.
Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:
Satz von Liouville (Physik) — Der Satz von Liouville (auch „Liouville Theorem“ genannt, nach Joseph Liouville) ist eine direkte Folge aus der Liouville Gleichung und besagt, dass das von benachbarten Trajektorien im Phasenraum eingeschlossene (mehrdimensionale) Volumen… … Deutsch Wikipedia
Satz von Liouville — In der Mathematik und der Physik gibt es mehrere Sätze, die nach Joseph Liouville benannt wurden: Der Satz von Liouville (Funktionentheorie) hat ganze Funktionen zum Gegenstand. Der Satz von Liouville (Differentialgeometrie) liefert eine Formel… … Deutsch Wikipedia
Satz von Clairaut (Differentialgeometrie) — Der Satz von Clairaut (benannt nach Alexis Claude Clairaut) ist eine Aussage der klassischen Differentialgeometrie. Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beweis 3 Anwendung in der Landesvermessung 4 … Deutsch Wikipedia
Liouville — Joseph Liouville. Joseph Liouville (* 24. März 1809 in Saint Omer; † 8. September 1882 in Paris) war ein französischer Mathematiker. Er studierte in Toul und ab 1825 in Paris an der École Polytechnique, wo er zwei Jahre später, unter anderem bei … Deutsch Wikipedia
Joseph Liouville — Joseph Liouville. Joseph Liouville (* 24. März 1809 in Saint Omer; † 8. September 1882 in Paris) war ein französischer Mathematiker. Er studierte in Toul und ab 1825 in Paris an der École Polytechnique, wo er zwei Jahre später, unter anderem bei … Deutsch Wikipedia
Enneperfläche — Eine Minimalfläche ist eine Fläche im Raum, die lokal minimalen Flächeninhalt hat. Derartige Formen nehmen beispielsweise Seifenhäute an, sofern sie nicht wie im Fall von Blasen durch eingeschlossene Luft aufgebläht werden. In mathematischer… … Deutsch Wikipedia
Helicoid — Eine Minimalfläche ist eine Fläche im Raum, die lokal minimalen Flächeninhalt hat. Derartige Formen nehmen beispielsweise Seifenhäute an, sofern sie nicht wie im Fall von Blasen durch eingeschlossene Luft aufgebläht werden. In mathematischer… … Deutsch Wikipedia
Minimalfläche — Eine Minimalfläche ist eine Fläche im Raum, die lokal minimalen Flächeninhalt hat. Derartige Formen nehmen beispielsweise Seifenhäute an, wenn sie über einen entsprechenden Rahmen (wie etwa einem Blasring) gespannt sind. In mathematischer Sprache … Deutsch Wikipedia
Scherkfläche — Eine Minimalfläche ist eine Fläche im Raum, die lokal minimalen Flächeninhalt hat. Derartige Formen nehmen beispielsweise Seifenhäute an, sofern sie nicht wie im Fall von Blasen durch eingeschlossene Luft aufgebläht werden. In mathematischer… … Deutsch Wikipedia
Wendelfläche — Eine Minimalfläche ist eine Fläche im Raum, die lokal minimalen Flächeninhalt hat. Derartige Formen nehmen beispielsweise Seifenhäute an, sofern sie nicht wie im Fall von Blasen durch eingeschlossene Luft aufgebläht werden. In mathematischer… … Deutsch Wikipedia
