Satz von Lumer-Phillips

Der Satz von Lumer-Phillips ist ein Resultat aus der Theorie der stark stetigen Halbgruppen und charakterisiert Kontraktionshalbgruppen:

Seien X ein Banachraum und (A,D(A)) ein in X dicht definierter, dissipativer Operator. Dann erzeugt der Abschluss $\overline A$ von A eine Kontraktionshalbgruppe, also $\|e^{tA}\|\leq 1$ für alle $t \ge 0$, genau dann, wenn für ein λ > 0 das Bild von λ − A dicht in X liegt.

Der Satz wurde 1961 von Günter Lumer und Ralph Phillips bewiesen und gehört mit dem Satz von Hille-Yosida zu den wichtigsten Sätzen aus dem Bereich der stark stetigen Halbgruppen. Im Gegensatz zum Satz von Hille-Yosida werden aber keine Abschätzungen für die Resolvente benötigt, so dass die Anwendung des Satzes von Lumer-Phillips im Falle eines konkreten Operators sich häufig einfacher gestaltet als die Anwendung des Satzes von Hille-Yosida.

Folgerungen

• Sei (A,D(A)) ein dicht definierter Operator auf einem Banachraum X. Sind sowohl A als auch die Adjungierte A ^* dissipativ, erzeugt der Abschluss von A eine Kontraktionshalbgruppe.
• Ist (A,D(A)) ein dissipativer Operator auf einem reflexiven Banachraum X und liegt das Bild von λ − A dicht in X, dann ist der Definitionsbereich vom Abschluss $\overline A$ von A dicht in X. Aus dem Satz von Lumer-Phillips folgt, dass $\overline A$ eine Kontraktionshalbgruppe erzeugt.

Beispiel

• Betrachtet man auf $X:=L^2([0,1],\R)$ (siehe L^p-Raum) den Laplace-Operator Au: = u'' mit Dirichlet-Randbedingung, also $D(A):=\{u\in H^2([0,1],\R): u(0)=u(1)=0\}$, so ist $A:D(A)\rightarrow X$ invertierbar. Außerdem folgt aus der partiellen Integration $\langle Au,u\rangle=\int_0^1 u'' u\,\mathrm dx=-\int_0^1 u'u'\,\mathrm d x\leq 0$. Somit erzeugt A eine Kontraktionshalbgruppe.

Literatur

• Ammon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Applied Mathematical Sciences 44, Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-90845-5.
• Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel: One-Parameter Semigroups for linear Evolution Equations. Graduate Texts in Mathematics 194, Springer-Verlag 2000, ISBN 0-387-98463-1.