Satz von Montel

Der Satz von Montel (nach Paul Montel) ist ein Satz aus der Funktionentheorie. Er beschäftigt sich mit der Fragestellung, wann eine Funktionenfolge holomorpher Funktionen eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt. In diesem Sinne ist er das Analogon zum Satz von Bolzano-Weierstraß für Zahlenfolgen.

Der Satz

$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sei eine Funktionenfolge, die auf dem Gebiet G holomorph und lokal gleichmäßig beschränkt ist.

Dann existiert eine kompakt konvergente Teilfolge $f_{n_k}$.

(Dabei heißt die Folge lokal gleichmäßig beschränkt, wenn sie auf jeder kompakten Menge K gleichmäßig beschränkt ist, d.h. $\sup_{n\in {\mathbb N}, z\in K}|f_n(z)| < \infty$.)

Beweis

Für den Beweis des Satzes von Montel benötigt man zunächst folgendes Lemma:

Lemma

$(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sei eine auf einem Gebiet G holomorphe und lokal gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge. Die Menge $P = \{ z \in G : \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(z)\;\mbox{existiert}\}$ liege dicht in G.

Dann ist $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ kompakt konvergent.

Beweis (Lemma)

Wir wollen zeigen:

$\forall z_0 \in G: \ \exists r>0: \ \forall \epsilon > 0: \ \exists n_0: \left| f_n(z) - f_m(z) \right| < \epsilon \quad \forall z \in B(z_0,r), \forall m,n > n_0,$

wobei B(z₀,r) die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt z₀ und Radius r bezeichnet.

Da die Funktionenfolge lokal gleichmäßig beschränkt ist, gilt:

$\forall z_0 \in G: \ \exists R>0, \exists M>0: \left| f_n(z) \right| \le M \quad \forall z \in B(z_0,R), \forall n \in \mathbb{N}.$

Wähle $r=\frac{R}{2}$.

Seien nun $z , \tilde{z} \in B(z_0,r)$. Dann gilt (Cauchysche Integralformel):

$\left| f_n(z) - f_n(\tilde{z}) \right| = \left| \frac{1}{2\pi i} \oint_{\left|w-z_0 \right| = R} \frac{f_n(w)}{w-z} dw - \frac{1}{2\pi i} \oint_{\left|w-z_0 \right| = R} \frac{f_n(w)}{w-\tilde{z}} dw \right| = \left| \frac{z-\tilde{z}}{2\pi i} \oint_{\left|w-z_0 \right| = R} \frac{f_n(w)}{(w-z)(w-\tilde{z})} dw \right|$

Nun schätzt man das Integral durch die Länge der Kurve und das Maximum des Integranden ab (genaugenommen einer Abschätzung des Maximums):

$\left| \frac{z-\tilde{z}}{2\pi i} \oint_{\left|w-z_0 \right| = R} \frac{f_n(w)}{(w-z)(w-\tilde{z})} dw \right| \le \frac{\left| z- \tilde{z} \right|}{2 \pi } \cdot 2\pi R \cdot \frac{M}{r^2} = R \frac{M}{r^2} \left| z - \tilde{z} \right| = 2 \frac{M}{r} \left| z - \tilde{z} \right|$

Also gilt:

$\left| f_n(z) - f_n(\tilde{z}) \right| \le 2 \frac{M}{r} \left| z - \tilde{z} \right|$

Nun liegt P dicht in G. Man kann also für jedes vorgegebene ε endlich viele p_i aus P wählen, sodass die ε Umgebungen ganz B(z₀,r) überdecken. (Da B(z₀,r) kompakt ist, reichen endlich viele.) Hier wählen wir unser ε genau so, dass wir dann in Kombination mit der oberen Abschätzung genau $\epsilon / 3$ erhalten.

$\exists p_1, \dots p_k \in B(z_0,r):\ \forall z \in B(z_0,r):\ \exists a_j:\ \left| z-a_j \right| < \frac{\epsilon}{3}\frac{r}{(2M)}$

$\left| f_n(z)-f_m(z) \right| \le \left| f_n(z)-f_n(p_j) \right| + \left| f_n(p_j)-f_m(p_j) \right| + \left| f_m(p_j)-f_m(z) \right| \quad n,m > n_0$

p_j sei das zu z nächstgelegene p_i. Dann kann man mittels der oberen zwei Abschätzungen den ersten und letzten Summanden jeweils mit ε / 3 abschätzen. Da die f_n ja auf den a_j punktweise konvergieren, ist auch der mittlere Term (für hinreichend großes n) kleiner als ε / 3.

So erhalten wir:

$\forall z \in G:\ \exists r>0:\ \forall \epsilon > 0: \exists n_0: \left| f_n(z)-f_m(z) \right| \le \epsilon \quad \forall z \in B(z_0,r), \forall m,n > n_0$

Beweis (Satz von Montel)

Um das obere Lemma verwenden zu können, wählen wir zunächst eine abzählbare dichte Teilmenge $\{p_1, p_2, \dots \}$ des Gebietes G. (z. B.: Nur jene $z \in G$ mit rationalen Real- und Imaginärteil)

Nun betrachten wir die Folge $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ an der Stelle p₁. Da die Folge lokal gleichmäßig beschränkt ist, folgt mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß, dass eine Teilfolge $f_{n_k}$ existiert, sodass $f_{n_k} (p_1)$ konvergiert. Wir bezeichnen diese Folge mit $(f_{1,j})_{j \in \mathbb{N}}$.

Nun kann man diese Funktionenfolge im Punkt p₂ betrachten. Mit dem gleichen Argument wie oben erhält man, dass es eine im Punkt p₂ konvergente Teilfolge $(f_{2,j})_{j \in \mathbb{N}}$ gibt.

So definiert man induktiv die Funktionenfolgen $(f_{i,j})_{j \in \mathbb{N}}$.

Nun betrachtet man die Diagonalfolge $(f_{n,n})_{n \in \mathbb{N} }$. Diese konvergiert für alle $p_i \in P$ nach dem Cantor'schem Diagonalfolge-Verfahren und ist daher nach dem Lemma auch kompakt konvergent auf dem Gebiet G.

Literatur

• E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag, ISBN 3-540-31764-3.

Siehe auch

• Liste mathematischer Sätze
• Paul Montel
• Montel-Raum