65537-Eck

65537-Eck oder Kreis? Erst bei einer Skalierung auf über eine Milliarde Pixel Durchmesser wäre der Unterschied erkennbar

Das 65537-Eck ist eine geometrische Figur aus der Gruppe der Vielecke (Polygone). Es ist definiert durch 65.537 Punkte, die durch ebenso viele Kanten zu einer geschlossenen Figur verbunden sind.

Dieser Artikel befasst sich ausschließlich mit dem regelmäßigen 65537-Eck, bei dem alle Seiten gleich lang sind, und dessen Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen. Es ist in der grafischen Darstellung von einem Kreis praktisch nicht zu unterscheiden (siehe Abbildung rechts).

Konstruktion

Das Besondere am 65537-Eck ist die Tatsache, dass es unter Beschränkung auf die Hilfsmittel Zirkel und Lineal (die Euklidischen Werkzeuge) theoretisch konstruiert werden kann. In der Praxis ist die Konstruktion jedoch unmöglich durchführbar. Die Zahl 65.537 ist die größte bekannte Fermat'sche Primzahl:

$65.537 = 2^{2^4}+1$.

Carl Friedrich Gauß bewies im Jahre 1796, dass ein Vieleck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, wenn die Zahl seiner Ecken abgesehen von einer beliebigen Zweierpotenz gleich einem Produkt verschiedener Fermat'scher Primzahlen ist.

Im Jahr 1894 fand Johann Gustav Hermes nach mehr als zehnjähriger Anstrengung eine Konstruktionsvorschrift für das regelmäßige 65537-Eck und beschrieb diese in einem Manuskript von mehr als 200 Seiten, welches sich heute in einem speziell dafür angefertigten Koffer in der Mathematischen Bibliothek der Universität Göttingen befindet.

Mathematischer Hintergrund

Der Konstruktion liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung x⁶⁵⁵³⁷ − 1 = 0 mittels geschachtelter Quadratwurzeln zugrunde. Diese Auflösung geschieht analog zum für das Siebzehneck beschriebenen Weg, wobei wie dort als Primitivwurzel wieder $g = 3\$ gewählt werden kann.

Proportionen

Winkel

Der Zentriwinkel hat den Wert $\tfrac{360^\circ}{65{.}537} \approx 0^\circ 0' 19{,}8'' = 0{,}0055^\circ$.

Der Innenwinkel hat den Wert $\tfrac{65{.}537 - 2}{65{.}537} \cdot 180^\circ \approx 179^\circ 59' 40{,}2'' = 179{,}9945^\circ = 180^\circ - 0{,}0055^\circ$.

Bereits ein Siebzehneck sieht fast aus wie ein Kreis.

Veranschaulichung

Zur Veranschaulichung der Proportionen dieser praktisch nicht darstellbaren Figur mögen folgende Überlegungen dienen:

• Die Abweichung des Zentriwinkels von 0° sowie die des Innenwinkels von 180° beträgt jeweils nur etwa 0,005°. Hebt man eine 100 m lange auf dem Boden liegende Stange an einem Ende um einen Zentimeter an, bildet diese mit dem Boden etwa diesen Winkel.
• Wollte man ein 65537-Eck mit einer Seitenlänge von 1 cm zeichnen, hätte dieses einen Durchmesser von mehr als 200 m.
• Zeichnete man ein 65537-Eck mit 20 cm Durchmesser auf ein Zeichenblatt, so betrüge die Seitenlänge etwa 1/100 mm, einen Bruchteil des Durchmessers des dünnsten menschlichen Haares.
• Hat ein 65537-Eck denselben Umfang wie die Erde, haben seine Seiten eine Länge von etwa 600 m; die Abweichung von einem Kreis wäre dann nur maximal 7,3 mm.

Siehe auch

• Konstruierbare Polygone
• Prothsche Primzahl
• 257-Eck

Literatur

• Johann Gustav Hermes: Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. Göttingen, 1894, S. 170–186. (Faksimile dieses Artikels siehe Weblinks.)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: 65537-gon. In: MathWorld. (englisch)
• Faksimile der Arbeit Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile (siehe Literatur)