Schallausbreitungsgeschwindigkeit

Schallgrößen
Schalldruck p Schalldruckpegel Lp Schallschnelle v Schallauslenkung ξ Schallbeschleunigung a Schallintensität I Schallleistung Pak Schallenergiedichte E Schallenergie Schallfluss q Schallimpedanz Z Schallgeschwindigkeit c

Die Schallgeschwindigkeit c (für lat. celeritas = Eile, Schnelligkeit) ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem beliebigen Medium ausbreiten und unterscheidet sich damit von der Schallschnelle v. Die SI-Einheit der Schallgeschwindigkeit ist Meter pro Sekunde (m/s).

Die Schallgeschwindigkeit wird in der Regel mit c = 343 m/s (1234,8 km/h) für 20 °C in Luft angegeben.

Für die Schallgeschwindigkeit c gilt die Formel

$c = \lambda \cdot f \,$,

wobei λ (lambda) die Wellenlänge und f die Frequenz der Schallwelle ist. Die Schallgeschwindigkeit kann somit errechnet werden, wenn die Werte für λ und f gemessen wurden. Ein Ändern der Frequenz eines Tons verursacht keine Änderung der Schallgeschwindigkeit, sondern eine Veränderung der Wellenlänge. Die Schallgeschwindigkeit wird bei gleichbleibenden physikalischen Eigenschaften des Mediums als konstant angesehen.

Schallgeschwindigkeit in Festkörpern

Schallwellen in Festkörpern können sich sowohl in longitudinaler (hierbei ist die Schwingungsrichtung parallel zur Ausbreitungsrichtung) als auch in transversaler Richtung (hierbei ist die Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) ausbreiten.

Für Longitudinalwellen hängt im allgemeinen Fall die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern von der Dichte ρ, der Poissonzahl μ und dem Elastizitätsmodul E des Festkörpers ab. Es gilt dabei

$c_{\mathrm{Festk\ddot orper,\ longitudinal}} = \sqrt{E \, ( 1- \mu) \over \rho \, ( 1- \mu - 2 \mu^2) } \,$

und

$c_{\mathrm{Festk\ddot orper,\ transversal}} = \sqrt{E \over {2 \cdot \rho \, \cdot ( 1+ \mu)} } \,$

sowie

$c_{\mathrm{Festk\ddot orper,\ Oberfl\ddot ache}} \approx 0,9194 \cdot c_{\mathrm{Festk\ddot orper,\ transversal}} \,$

Im Spezialfall eines langen Stabes, wobei der Durchmesser des Stabes deutlich kleiner als die Wellenlänge der Schallwelle sein muss, kann die Querkontraktion vernachlässigt werden und man erhält

$c_{\mathrm{Festk\ddot orper (langer Stab),\ longitudinal}} = \sqrt{E \over \rho} \,$.

Für Transversalwellen muss der Elastizitätsmodul durch den Schubmodul G ersetzt werden:

$c_{\mathrm{Festk\ddot orper,\ transversal}} = \sqrt{G \over \rho} \,$.

Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten

Im Gegensatz zu Festkörpern können sich in Flüssigkeiten nur Longitudinalwellen ausbreiten, da der Schubmodul für Flüssigkeiten gleich Null ist. Die Schallgeschwindigkeit ist eine Funktion der Dichte ρ und des Kompressionsmoduls K der Flüssigkeit und berechnet sich aus

$c_{\mathrm{Fl\ddot ussigkeit}} = \sqrt{K \over \rho} \,$.

Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen

Die Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen ist abhängig vom Adiabatenexponent κ (kappa), der Dichte ρ (rho) sowie dem Druck p des Gases oder alternativ nach der thermischen Zustandsgleichung von der molaren Masse M und der absoluten Temperatur T (gemessen in Kelvin) und berechnet sich aus

$c_{\mathrm{Gas}} = \sqrt{ \kappa \frac{p}{\rho} } = \sqrt{ \kappa \frac{RT}{M} }$.

Der Adiabatenexponent κ (kappa) = c_p/c_V hängt auch für die meisten realen Gase über weite Temperaturbereiche nicht vom Druck p ab, die molare Masse ist eine materialspezifische und die universelle Gaskonstante R = 8,3145 J/(mol K) eine physikalische Konstante. Deshalb hängt die Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen nur von der Wurzel der (absoluten) Temperatur ab.

Für Luft erhält man mit M = 0,02896 kg/mol und κ = 1,402

$c_{\mathrm{Luft}} \approx \sqrt{1{,}402 \frac{ 8{,}3145\,\mathrm{\frac{J}{mol\,K}} T } { 0{,}02896\,\mathrm{kg/mol} } } = 20{,}063 \mathrm{\frac{m}{s}} \sqrt{\frac{T}{\mathrm{K}}} \,$

Geht man zur Temperatur $\vartheta=T-273{,}15\,\mathrm{K}$ in °C über, so ergibt sich weiter

$c_{\mathrm{Luft}} \approx 331{,}5 \mathrm{\frac{m}{s}} \sqrt{ 1 + \frac{\vartheta/{}^\circ\mathrm{C}}{273{,}15} } \,$

Mit dieser Gleichung beträgt die Schallgeschwindigkeit bei 25 °C etwa 346 m/s. Allgemeiner bekannt ist der Wert c = 343 m/s für 20 °C (Raumtemperatur).

Statt der Wurzelabhängigkeit wird häufig folgende lineare Näherungsformel verwendet:

$c_{\mathrm{Luft}} \approx ( 331{,}5 + 0{,}6\,\vartheta/{}^\circ\mathrm{C} ) \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \,$

Diese Näherung gilt im Temperaturbereich von -20 °C bis +40 °C mit einer Genauigkeit von besser als 0,2%.

Die Luftfeuchtigkeit beeinflusst im Gegensatz zur Temperatur die Schallgeschwindigkeit nur geringfügig. Der Schall wandert innerhalb der Troposphäre langsamer mit steigender Höhe, was aber fast ausschließlich eine Funktion der Temperatur und nur in geringem Maße auch eine der Luftfeuchte ist.^[1]

Vergleiche hierzu die Normalbedingungen und die Standardbedingungen. Normalerweise wird die Schallgeschwindigkeit unter Standardatmosphäre gemessen.

Bei einem idealen Gas ist die Schallgeschwindigkeit nur von der Temperatur abhängig und unabhängig vom Gasdruck. Diese Abhängigkeit gilt daher auch für Luft, die in guter Näherung als ideales Gas betrachtet werden kann.

Der Faktor kappa kommt aus der adiabatischen Zustandsgleichung. Die gilt, wenn bei einem Prozess die Temperatur nicht konstant bleibt (also nicht isotherm). Das ist bei einer Schallwelle der Fall. Die Luft wird in sehr kurzer Zeit komprimiert und expandiert wieder schnell. Die erhöhte Temperatur kann so schnell nicht abgeführt werden. Anfänglich wurde der Fehler gemacht und ohne das kappa gerechnet. So entstand eine stark abweichende Schallgeschwindigkeit.

Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien

In der folgenden Tabelle sind einige Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien bei einer Temperatur von 20 °C aufgelistet. Für alle Materialien angegeben ist die Schallgeschwindigkeit für die Druckwelle (Schallgeschwindigkeit longitudinal). Wo Werte bekannt sind, findet man zusätzlich die Schallgeschwindigkeit nach Wellenumwandlung (Schallgeschwindigkeit transversal); die dazu gehörende Welle entsteht in einem festen Folgemedium bei Schrägeinschallung und breitet sich senkrecht zur eigentlichen Druckwelle aus. Transversalwellen können sich nur in Festkörpern ausbreiten. Bei Flüssigkeiten existieren sie nur als Oberflächenwelle.

Medium	Schallgeschwindigkeit longitudinal in (m/s) bei 20 °C	Schallgeschwindigkeit transversal in (m/s)
Luft (bei 20 °C)	343 (*)
Helium	981
Wasserstoff	1280
Sauerstoff	316
Kohlendioxid (bei 20 °C)	266
Wasser	1484
Wasser (bei 0 °C)	1407
Meerwasser	~1500
Eis (bei -4 °C)	3250
Öl (SAE 20/30)	1740
Benzol	1326
Ethylalkohol	1168
Glas	5300
Gummi	150
Plexiglas	2670
PVC-P (weich)	80
PVC-U (hart)	2250	1060
Beton (C20/25)	3655	2240
Beton (C30/37)	3845	2355
Buchenholz	3300
Marmor	6150
Aluminium	5100[2]	3130
Beryllium	12900	8880
Blei/5%Antimon	2160	700
Blei	1200	360
Gold	2000	1280
Kupfer	4700	2260
Magnesium/Zk60	4400	810
Nickel	4900
Zink	3800
Quecksilber	1450
Stahl	5100[3]	3255
Titan	6100	3050
Messing	3500
Wolfram	5180	2870
Eisen	5170
Silber	2640
Bor	16200
Diamant	18000
Quark-Gluon-Plasma[4] (bei 1012 °C)	173085256,32732 $= c/\sqrt{3}$

(*) entspricht 1234,8 km/h.

Diamant besitzt mit etwa 18000 m/s die höchste Schallgeschwindigkeit aller natürlichen Medien.

Der beim Holz-Musikinstrumentenbau wichtige Parameter "Schallgeschwindigkeit" beträgt längs zur Faser bei Erle 4400 m/s, Ahorn 4500 m/s, Esche etwa 4700 m/s, Padouk 4800 m/s, Linde 5100 m/s.

Temperaturabhängigkeit

Allgemein ergibt sich für Gase folgende Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit von der Temperatur $\vartheta_{0}[K]$.

$c=c_{{0}}\sqrt {{\frac {\vartheta}{\vartheta_{{0}}}}} \,$

Dabei stellt c₀ [in m/s] die Geschwindigkeit bei $\vartheta_{0} = 273 K$ dar und c [in m/s] die Schallgewindigkeit bei $\vartheta[K]$.

Die Temperaturabhängigkeit ergibt sich durch sehr große Dichtegradienten und Geschwindigkeitsänderungen bei den erzeugten Wellen. Denn dadurch sind die Näherungen des hydrodynamischen Grundgesetzes nicht mehr erfüllt.

Somit ergibt sich beispielsweise folgende Tabelle für Luft mit c₀ = 331,5 m/s.

Der Luftdruck - in 5,5 km etwa nur die Hälfte wie am Boden - hat dagegen keinen Einfluß auf die Schallgeschwindigkeit, auch wenn dies häufig behauptet wird.

Tabellen

Schallkennimpedanz, Luftdichte und Schallgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Lufttemperatur

Temperatur ϑ in °C	Schallgeschwindigkeit c in m/s	Dichte ρ in kg/m³	Kennimpedanz ZF in Ns/m³
− 25	316,0	1,423	449,7
− 20	319,1	1,395	445,1
− 15	322,3	1,368	440,9
− 10	325,4	1,341	436,5
− 5	328,5	1,316	432,4
0	331,5	1,293	428,3
+ 5	334,5	1,269	424,5
+ 10	337,5	1,247	420,7
+ 15	340,5	1,225	417,0
+ 20	343,4	1,204	413,5
+ 25	346,3	1,184	410,0
+ 30	349,2	1,164	406,5
+ 35	352,1	1,146	403,5

Frequenzabhängigkeit

In einem dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit von der Frequenz abhängig. Die räumliche und zeitliche Verteilung einer Fortpflanzungsstörung ändert sich ständig. Jede Frequenzkomponente pflanzt sich jeweils mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit fort, während die Energie der Störung sich mit der Gruppengeschwindigkeit fortpflanzt. Gummi ist ein Beispiel für ein dispersives Medium, dieses erfährt eine Versteifung (also eine Schallgeschwindigkeitserhöhung) mit der Frequenz.

In einem nicht dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz. Daher sind die Geschwindigkeiten des Energietransports und der Schallausbreitung dieselben. Wasser und Luft sind über weite Frequenzbereiche nicht dispersive Medien.

Sonstiges

In der Luftfahrt wird die Geschwindigkeit eines Flugzeugs auch relativ zur Schallgeschwindigkeit gemessen. Dabei wird die Einheit Mach (benannt nach Ernst Mach) verwendet, wobei Mach 1 gleich der jeweiligen Schallgeschwindigkeit ist. Abweichend von anderen Maßeinheiten wird bei der Messung der Geschwindigkeit in Mach die Einheit vor die Zahl gesetzt.

Die Entfernung eines Blitzeinschlags und damit eines Gewitters lässt sich abschätzen, indem man nach dem Sehen des Blitzes bis zum Hören des Donners die Sekunden zählt. Die Anzahl der Sekunden durch drei geteilt ergibt (aufgrund einer abgerundeten Schallgeschwindigkeit von c = 333 m/s) ungefähr die Entfernung des Gewitters in Kilometern.

Siehe auch

• Lichtgeschwindigkeit
• Luftdruck
• Schallkennimpedanz
• Überschallgeschwindigkeit
• Überschallflug
• Schall
• Wellengleichung

Literatur

1. ↑ Dennis A. Bohn, Environmental Effects on the Speed of Sound, Journal of the Audio Engineering Society, 36(4), April 1988. PDF-Version
2. ↑ Das große Tafelwerk, Cornelsen Verlag, Berlin, 2003
3. ↑ Das große Tafelwerk, Cornelsen Verlag, Berlin, 2003
4. ↑ Jean Lettesier and Johann Rafelski, Hadrons and Quark-Gluon-Plasma, Cambridge University Press, 2002.

• Götsch, Ernst - Luftfahrzeugtechnik, Motorbuchverlag, Stuttgart 2003, ISBN 3-613-02006-8

Weblinks

• Die Schallgeschwindigkeit, die Temperatur ... und nicht der Luftdruck
• Berechnung der Wellenlänge einer Schallwelle in Luft bei gegebener Frequenz und Temperatur
• Gute Schallgrundlagen
• Schallgeschwindigkeit in Luft und die wichtige Temperaturangabe