Schiefe Ebene


Schiefe Ebene

Eine schiefe, schräge oder geneigte Ebene (kurz rsp. umgangssprachlich: Hang, Schiefe, Schräge bzw. Neigung) ist in der Mechanik eine ebene Fläche, die gegen die Horizontale geneigt ist. Sie wird verwendet, um den Kraftaufwand zur Höhenveränderung einer Masse zu verringern. Der Arbeitsaufwand bleibt jedoch unverändert. Die schiefe Ebene gehört wie der Flaschenzug und die Schraube zu den einfachen Maschinen.

Bei einer schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel \!\ \alpha von 45° (entsprechend einem Anstieg von 100 %) verlängert sich die Strecke zum Heben eines Gewichts von z. B. 10 m in der Senkrechten auf etwa 14,1 m entlang der schiefen Ebene, wodurch sich der Kraftaufwand (unter Vernachlässigung der Reibung) auf 71 % reduziert. Wird der Neigungswinkel auf 22,5° (gleich einer Steigung von 41,5 %) halbiert, verlängert sich die Strecke \!\ l auf rund 22 m, der Kraftaufwand verringert sich auf rund 45 % im Vergleich zum direkten Heben.

Inhaltsverzeichnis

Alltag

Anwendungen dieses Prinzips finden sich bspw. bei Serpentinen im Gebirge, Rampen, die im Altertum zur Errichtung von Gebäuden benutzt wurden, Fahrrad- oder Rollstuhlrampen usw. Schrauben lassen sich auch als Zylinder mit einer aufgewickelten schiefen Ebene betrachten.

Das Werkzeug Keil nutzt ebenfalls die Prinzipien der schiefen Ebene.

Physikalische Grundlagen

Im Folgenden wird die Situation einer ruhenden Masse im Gleichgewicht auf einer schiefen Ebene beschrieben.

Die Gewichtskraft \vec F_\mathrm G einer Masse, die sich auf einer schiefen Ebene befindet, hat ihren Angriffspunkt im Schwerpunkt der Masse. Sie wird zur Beschreibung des Problems in zwei Komponenten zerlegt, die Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft \vec F_\mathrm{G H} parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene und die Normalkomponente der Gewichtskraft \vec F_\mathrm{G N} senkrecht zur Oberfläche. Es ist strikt zu unterscheiden zwischen den echt wirkenden Kräften und der Zerlegung der Gewichtskraft in zwei Komponenten – die Komponenten sind keine wirkenden Kräfte. Die Normalkraft \vec F_\mathrm N\, , welche von unten auf die Masse wirkt, ist eine Kontaktkraft und steht senkrecht zur Ebene. Ihr Angriffspunkt ist nicht im Schwerpunkt der Kontaktfläche, da der Druck nicht konstant ist. Der Betrag der Normalkraft \vec F_\mathrm N ist gleich dem Betrag der Normalkomponente der Gewichtskraft \vec F_\mathrm{G N}\, . Eine weitere Kraft, die wirkt, ist die Haftreibungskraft \vec F_\mathrm{R H}\, . Auch diese ist eine Kontaktkraft und greift im Schwerpunkt der Kontaktfläche an – ist jedoch parallel zur Ebene und entgegengesetzt der Richtung der Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft \vec F_\mathrm{G H}\, .

Damit der Körper in Ruhe bleibt, muss die Hangabtriebskraft \vec F_\mathrm{G H} kleiner sein als die maximal mögliche Haftreibungskraft \vec F_\mathrm{R H max}\, . Letztere ist durch den Haftreibungskoeffizient \!\ \mu_\mathrm H und dem Betrag der Normalkraft \vec F_\mathrm N gegeben. Es gilt:

\vec F_\mathrm{R H} \Leftarrow \vec F_\mathrm{R H max} = \mu_\mathrm H \vec F_\mathrm N\, .

Ist diese Bedingung nicht erfüllt (weil bspw. der Neigungswinkel der Ebene zu groß ist oder der Haftreibungskoeffizient \!\ \mu_H zu klein), beginnt die Masse zu rutschen.

Hat die Masse eine Geschwindigkeit oder wirken noch weitere Kräfte, so müssen zusätzliche Überlegungen und Fallunterscheidungen gemacht werden, die hier noch nicht beschrieben sind. Die detaillierte mathematische Beschreibung der ruhenden Masse auf der schiefen Ebene ist im nächsten Abschnitt festgehalten.

Körper in Ruhe

Schiefe Ebenen mit einem Neigungswinkel α
Rot ist die Gewichtskraft und ihre Zerlegung in die Komponenten, grün sind die Kontaktkräfte zwischen Körper und Unterlage.

Folgende Bezeichnungen werden verwendet:

\vec F_\mathrm G\, = Gewichtskraft der Masse,
\vec F_\mathrm{G N}\, = Normalkomponente der Gewichtskraft \vec F_\mathrm G\, ,
\vec F_\mathrm N\, = Normalkraft,
\vec F_\mathrm{G H} = \vec F_\mathrm H\, = Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft \vec F_\mathrm G\, ,
\vec F_\mathrm R\, = Haftreibungskraft,
\alpha\, = Neigungswinkel der schiefen Ebene,
\mu_\mathrm H\, = Haftreibungs-Koeffizient,
(\mu\, = Gleitreibungskoeffizient)
h\, = Höhe der schiefen Ebene,
b\, = Basis der schiefen Ebene sowie
l\, = Länge der schiefen Ebene.

Die Gewichtskraft \vec F_G kann aufgeteilt werden in eine Komponente senkrecht zur schiefen Ebene (Normalkomponente \vec F_\mathrm{G N}) und eine Komponente parallel zur schiefen Ebene (Hangabtriebskomponente \vec F_\mathrm{G H}).

\vec F_\mathrm{G N} = \vec F_\mathrm G \cos \alpha = \vec F_\mathrm G \frac{b}l
\vec F_\mathrm{G H} = \vec F_\mathrm G \sin \alpha = \vec F_\mathrm G \frac{h}l

An der Kontaktfläche zwischen Körper und schiefer Ebene wirken eine Normalkraft \vec F_\mathrm N und eine Haftreibungskraft \vec F_\mathrm R\, .

Da der Körper in Ruhe ist, muss die Haftreibungskraft FR gerade gleich groß oder größer sein wie die Hangabtriebskomponente \vec F_\mathrm{G H} der Gewichtskraft:

\ \vec F_\mathrm R \ge \vec F_\mathrm{G H}\, .

Mit dem Haftreibungsgesetz:

\vec F_\mathrm R \le \mu_\mathrm H \vec F_\mathrm N

ergibt sich als notwendige Bedingung:

\mu_H \ge \tan \alpha\, .

Wenn der Neigungswinkel \!\ \alpha zu groß oder der Reibungskoeffizient \mu_\mathrm H\, zu klein ist, so ist kein Gleichgewicht möglich  der Körper rutscht.

Der Haftreibungskoeffizient \mu_\mathrm H\, (manchmal als \mu_0\, bezeichnet) ist in jedem Fall größer als der Gleitreibungskoeffizient \mu\, .

Zu beachten ist, dass:

  1. die Steigung als das Verhältnis \tan (\alpha) = \frac{h}b und
  2. der Anstieg als das Verhältnis \sin (\alpha) = \frac{h}l

bezeichnet wird.

Bewegung mit Luftwiderstand

Im Folgenden soll die Luftwiderstandskraft \vec F = k \vec v^2 bei der Bewegung des Körpers an der schiefen Ebene berücksichtigt werden. Im Gegensatz zu obigem Abschnitt ist der Körper nicht mehr in Ruhe. Wirksam ist der Luftwiderstand sowie die Gleitreibung. Die Konstante k\, ist von der Form des Körpers und der Dichte des strömenden Mediums (bspw.: Luft) abhängig. Es gilt:

k = c_\mathrm w A \rho\, .

Hierbei ist:

c_\mathrm w\, = der Widerstandsbeiwert,
A\, = die Körperquerschnittsfläche,
\rho\, = die Dichte des strömenden Mediums sowie
\mu\, = der Gleitreibungs-Koeffizient.

Aus den Kraftansätzen entstehen recht komplexe Bewegungsgleichungen – diese Differenzialgleichungen sind jedoch lösbar.

Abwärtsbewegung

Schiefe Ebene g.png

Aus dem Kraftansatz:

m \vec a = m \vec g \sin \alpha - \mu m \vec g \cos \alpha - k \vec v^2

folgt die Differenzialgleichung:

m \vec v + k \vec v^2  = c

mit:

c = m \vec g \sin \alpha - \mu m \vec g \cos \alpha\, .

Folgende Fälle sind zu unterscheiden:

a)


Ansatz:

\vec v (t) = \dot{\vec v} = \vec a \tanh b t \Rightarrow \dot{\vec v} = \frac{\vec a b}{\cosh^2 \left(b t \right)}

Durch Einsetzen in die Differenzialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von:

\cosh^2 \left(b t \right) = 1 + \sinh^2 \left(b t \right)

und durch Koeffizientenvergleich:

\vec a = \sqrt{\frac{c}k} und b = \frac{\sqrt{c k}}m\, .

Als Lösung ergibt sich:

\dot{\vec v} = \sqrt{\frac{c}k} \tanh \left[\frac{t \sqrt{c k}}m + \operatorname{Artanh}\left(\vec v_0 \sqrt{\frac{k}c} \right) \right]\, .
\sqrt{\frac{c}k} ist die Endgeschwindigkeit.
\vec v_0 < \sqrt{\frac{c}k}\, .
\!\ \tanh x ist der Tangens Hyperbolicus.

Schiefe Ebene b.png


b)
\!\ c < 0 bzw. \!\ \tan \alpha < \mu

Unter Berücksichtigung von itanh ix = − tan x erhält man:

\dot{\vec v} = - \sqrt{- \frac{c}k} \tan \left(\frac{\sqrt{- c k}}m \left(t - t_0 \right) \right); t \in \left[{0; t_0} \right]\, .

Zum Zeitpunkt t_0 = \frac{m}{\sqrt{- c k}} \arctan \left(\vec v_0 \sqrt{- \frac{k}{c}} \right) kommt der Körper zur Ruhe.

Für den Bremsweg \vec s gilt:

\vec s = \int_0^{t_0} \dot{\vec v}\, \mathrm{d} t = - \frac{m}{k} \ln \, \cos \, \operatorname{Artanh}\left(\vec v_0 \sqrt{- \frac{k}{c}} \right)\, .


c)
\!\ c = 0 bzw. \!\ \tan \alpha = \mu
\dot{\vec v} = \frac{m}{k (t + \frac{m}{k \vec v_0})}

Die Geschwindigkeit nähert sich zwar hyperbelförmig der Ruhe, der Bremsweg ist aber unendlich lang.

Aufwärtsbewegung

float

Schiefe Ebene h.png

Aus dem Kraftansatz:

m \vec a = m \vec g \sin \alpha + \mu m \vec g \cos \alpha + k \vec v^2

folgt die Differenzialgleichung:

m \dot{\vec v} - k \vec v^2  = c

mit:

c = m \vec g \sin \alpha + \mu m \vec g \cos \alpha\, .

Ansatz:

\dot{\vec v} = \vec a \tan b t
\dot{\vec v} = \frac{\vec a b}{\cos^2 b t}\, .

Durch Einsetzen in die Differenzialgleichung erhält man unter Berücksichtigung von:

\!\ \cos^2 b t = 1 - \sin^2 b t

und durch Koeffizientenvergleich erhält man:

\vec a = \sqrt{\frac{c}k} und b = \frac{{\sqrt{c k}}}m\, .

Als Lösung ergibt sich:

\dot{\vec v} = \sqrt{\frac{c}k} \tan \left(\frac{{\sqrt{c k}}}m \left(t - t_0 \right) \right); t \in \left[{0; t_0} \right]

zum Zeitpunkt:

t_0 = \frac{m}{\sqrt{c k}} \arctan \left(- \vec v_0 \sqrt{\frac{k}c} \right)

kommt der Körper zur Ruhe, wobei \vec v_0 negativ ist.

Für den Bremsweg \vec s gilt:

\vec s = \int\limits_0^{t_0} {\dot{\vec v} t\, \mathrm{d} t = - \frac{m}k \ln \left(\cos \left[\arctan \left(\left| \vec v_0 \right| \sqrt{\frac{k}c} \right) \right] \right)}\, .

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