Separationsansatz


Separationsansatz

Der Separationsansatz oder Produktansatz dient der Lösung partieller Differentialgleichungen mit zwei Variablen. Er ähnelt der Trennung der Variablen für gewöhnliche Differentialgleichungen.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeines

Man nimmt an, dass sich die Lösung durch ein Produkt der Form:

u(t,x) = X(x) \cdot T(t)

darstellen lässt. Durch Ableiten und Einsetzen der separierten Funktionen X und T in die Ausgangsfunktion erhält man einen Ausdruck

Φ(x,X,X',X'') = λ = Ψ(t,T,T',T'')

Diese Gleichung lässt sich in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführen, die mit Hilfe der Randbedingungen lösbar sind. Die gefundene Lösung muss nicht die einzige Lösung der Ausgangsfunktion sein.

Beispiel

Zu lösen sei die Wellengleichung u_{xx}(t,x)=\frac{1}{c^2}u_{tt}(t,x). Der Separationsansatz liefert u(t,x)= T(t) \cdot X(x) , die Ableitungen des Separationsansatzes sind: u_{xx}=T(t) \cdot X''(x) und u_{tt}=T''(t) \cdot X(x) . Einsetzen der Ableitungen in die zu lösende Gleichung:

T(t) \cdot X''(x) = \frac{1}{c^2}T''(t) \cdot X(x)
\frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda = \frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)} =  \text{const.}

Da der linke Teil nur von x, der rechte Teil der Gleichung aber nur von t abhängt und die beiden Seiten stets gleich sind, muss λ eine Konstante sein. Wäre λ von t oder x abhängig, ergäbe sich zu einer der beiden Seiten der Gleichung ein Widerspruch.

Dies führt zu zwei Gleichungen, die jeweils nur noch von einer Variablen abhängen - und somit zu einem Gleichungssystem, bei dem nur noch λ ermittelt werden muss:

Das zu lösendes Gleichungssystem lautet:

X''(x) = \lambda \cdot X(x)
T''(t)= \lambda \cdot c^2 \cdot T(t)

Beide Gleichungen sind mit Hilfe gegebener Randbedingungen lösbar. Das Einsetzen der einzelnen Lösungen in u(t,x) ergibt die Lösung der partiellen Differentialgleichung.

Weblinks

Literatur


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