Sprungfunktion


Sprungfunktion
Heaviside-Funktion

Die Heaviside-Funktion, auch Theta-, Treppen-, Schwellenwert-, Stufen-, Sprung- oder Einheitssprungfunktion genannt, ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) benannt. Sie hat ihren Ursprung in der Kausalität physikalischer Prozesse.

Die Heaviside-Funktion hat für jede beliebige nicht positive Zahl den Wert null, andernfalls den Wert eins. Sie ist also die charakteristische Funktion der positiven reellen Zahlen. In Formeln geschrieben heißt das:


\Theta(x)=
\begin{cases}
0 : & x \le 0\\
1 : & x > 0
\end{cases}

Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle x = 0 kann man auch anders festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man


\Theta_c(x)=
\begin{cases}
0 : & x < 0\\
c : & x = 0\\
1 : & x > 0
\end{cases}

mit c = \Theta(0)\,.

Durch die Wahl \Theta(0) := \frac{1}{2} erreicht man, dass die Gleichungen

\Theta_\frac{1}{2}(x) = \frac{1}{2}(\sgn{(x)} + 1) und damit auch
\Theta_\frac{1}{2}( -x ) = 1 - \Theta_\frac{1}{2}(x)

für alle reellen x gültig sind.

Anmerkung: In Schulbüchern und einiger Literatur ist auch die Bezeichnung H(x) geläufig, welche sich am Namen von Oliver Heaviside orientiert. Weitere übliche Notationen in der Fachliteratur sind s(x) und σ(x) (nach der Bezeichnung Sprungfunktion) bzw. u(x) (nach der englischen Bezeichnung „unit step function”). Auch \varepsilon(x) wird häufig verwendet. In der Systemtheorie verwendet man auch das Symbol 1(x).

Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme der Stelle x = 0 überall stetig. Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter: Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von x = 0 den Wert Null hat (deterministische Funktion), rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

  • Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\Theta(x) = \delta(x)

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man Θ(x) und δ(x) geeignet approximiert, z. B. durch

Θε(x): = 0 für x < ( − ε),
\Theta_\epsilon (x) := \left(\frac{1}{2} + \frac{x}{2\epsilon}\right) für |x|\le\epsilon,
Θε(x): = 1 für x&amp;amp;gt;\epsilon\,,

sowie

δε(x): = 0 für | x | > ε

und

\delta_\epsilon (x) := \frac{1}{2\epsilon} für |x|\le\epsilon\,.
  • Die Stammfunktion der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch partielle Integration und Anwendung der Faltungseigenschaft der Delta-Distribution:
\int\Theta(x) \, \mathrm dx = \Theta(x)x + C.
  • Eine Integralrepräsentation der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:
\Theta(x)=\lim_{ \varepsilon \to 0} -{1\over 2\pi i}\int_{-\infty}^\infty {1 \over \tau+i\varepsilon} e^{-i x \tau} \, \mathrm d \tau
  • Eine andere Repräsentation ist gegeben durch:
\Theta(x)=\lim_{\varepsilon\to 0}{1\over\pi}\left[ \arctan \left( {x\over\varepsilon} \right)+{\pi\over 2} \right]

Siehe auch

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