Stochastische Analysis

Als Stochastische Analysis wird das Teilgebiet der Mathematik bezeichnet, das sich mit den Eigenschaften stochastischer Integrale auseinandersetzt. Dabei wird ein zufallsabhängiges Integral definiert, indem ein stochastischen Prozess, also eine zufallsbedingte Funktion, als Integrator (und häufig auch als Integrand) gewählt wird. Der Wert des Integrals ist somit eine Zufallsvariable.

Unter den verschiedenen Integraldefinitionen ist das Itô-Integral das geläufigste, da hier unter bestimmten Voraussetzungen die Integralfunktion $\textstyle t \mapsto \int_a^t f dB$ ein Martingal ist. Als Integrator wird häufig ein Wiener-Prozess verwendet, obwohl allgemeinere Klassen von stochastischen Prozessen (Levy-Prozesse oder noch allgemeiner Semimartingale) möglich sind.

Ein wesentlicher Aspekt der stochastischen Analysis ist die Formulierung und Untersuchung von stochastischen Differentialgleichungen, insbesondere in Hinblick auf die Frage nach der Lösbarkeit solcher Gleichungen. Dieses Gebiet ist eng verbunden mit der klassischen Theorie partieller Differentialgleichungen, zum Teil lassen sich deterministische Gleichungen mit Hilfe stochastischer Methoden lösen.

Anwendungen finden sich bei der Modellierung von Prozessen in der Finanzmathematik, aber auch in Biologie und Physik. Ein prominentes Beispiel ist die Modellierung von Aktienkursentwicklungen, die sich mit Hilfe stochastischer Differentialgleichungen studieren lassen.

Literatur

• J. Jacod, A. Shiryaev: Limit theorems for stochastic processes. Springer, Berlin.
• P. Protter: Stochastic integrals and differential equations. Springer, Berlin.
• M.Yor, D. Revuz, Continous Martingales and Brownian Motion, Springer, Berlin.