Stumpfwinklig

Stumpfwinklig

Einen Winkel nennt man stumpf, falls sein Wert zwischen 90° und 180° (im Gradmaß) beziehungsweise zwischen π/2 und π (im Bogenmaß) liegt.

In der linearen Algebra heißt eine Familie von Vektoren stumpfwinklig, falls der Winkel zwischen je zwei (verschiedenen) dieser Vektoren stumpf ist. Die formale Definition lautet wie folgt:

Sei S=\{v_1,v_2,...,v_k\} \subset \mathbb{R}^n eine Familie von Vektoren und \langle\cdot,\cdot\rangle das kanonische Skalarprodukt auf \mathbb{R}^n. Dann heißt S stumpfwinklig, falls gilt \langle v_i,v_j\rangle<0, für 1\leq i<j\leq k

Es lässt sich zeigen, dass eine stumpfwinklige Familie im \mathbb{R}^n höchstens n + 1 Vektoren enthalten kann.

Liegt eine symmetrische Konfiguration von n + 1 Vektoren im \mathbb{R}^n vor, so gilt für den Winkel \varphi zwischen je zwei (verschiedenen) Vektoren: \varphi=\arccos(-\frac{1}{n}). Im Fall n = 3 beispielsweise beschreibt eine symmetrische Konfiguration von vier Vektoren gleicher Länge ein reguläres Tetraeder. Daraus erhält man direkt den Tetraederwinkel \tau=\arccos(-\frac{1}{3})\approx109.47^\circ


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