Substantielle Ableitung

Die Substantielle Ableitung (auch Materielle Ableitung oder Konvektive Ableitung) beschreibt die totale zeitliche Ableitung einer Größe, die von dem Ort $\vec{x}$ eines materiellen Punktes und der Zeit t abhängig ist.

Dies kann zum Beispiel die Temperaturänderung eines Wasserpartikels in einer Flussströmung sein.

Definition und Schreibweise

Die substantielle Ableitung einer skalaren oder vektoriellen Größe $\Phi(\vec{x},t)$ wird in der Literatur oft mit $\frac{\text{D}\Phi}{\text{D}t}$ oder $\frac{\text{d}\Phi}{\text{d}t}$ beschrieben und ist definiert als:

$\frac{\text{D}\Phi(\vec{x},t)}{\text{D}t}=\frac{\partial\Phi}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla\Phi$.

Die einzelnen Teile werden folgendermaßen bezeichnet:

$\frac{\partial\Phi}{\partial t}$ : lokale Änderung

$\vec{v}\cdot\nabla\Phi$ : konvektive Änderung

Hierin sind $\vec{v}$ der Geschwindigkeitsvektor, $\nabla$ der Nabla-Operator, $\nabla\Phi$ der Gradient der Größe Φ und $\cdot$ das Skalarprodukt.

Physikalische Interpretation

Im mathematischen Sinne handelt es sich um die totale Ableitung einer Größe, die von der Zeit und dem Ort eines materiellen Punktes abhängt. Sie beschreibt nun die Änderung der Größe für einen Beobachter, der sich mit der "Substanz bzw. Materie" bewegt.

Der lokale Anteil, $\frac{\partial\Phi}{\partial t}$, gibt an wie sich die Größe an dem festen Ort $\vec{x}$, d.h. lokal, verändert.

Der konvektive Anteil, $\vec{v}\cdot\nabla\Phi$, beinhaltet die Änderung, welche sich zusätzlich durch die Bewegung des materiellen Punktes einstellt. Zusammen ergibt sich die vollständige substantielle Änderung für den betrachteten materiellen Punkt.

Verwendet wird hierbei das Modell des mitbewegten Beobachters, welches auch als Lagrange'sche Betrachtungsweise bekannt ist. Daneben existiert die Euler'sche Betrachtungsweise, welche einen feststehenden Beobachter nutzt und mit der lokalen Änderung verknüpft ist (der konvektive Term fällt ohne Bewegung heraus).

Beispiel

Als Beispiel betrachte man das zweidimensionale Temperaturfeld

$\Theta(x,y,t)=300 \, \text{K} + (1 \, \text{K/m}) \, x + (2 \, \text{K/m}) \, y + (3 \, \text{K/s}) \, t$

einer Seeoberfläche, die eine Temperaturverteilung besitzt, bei der das Wasser in Richtung der positiven x- und y-Achse, also von Südwesten nach Nordosten, wärmer wird. Zusätzlich wird der gesamte See durch Wärmezufuhr kontinuierlich erwärmt. Ein Boot mit einem Thermometer treibt mit der Wasserströmung von Südwesten nach Nordosten durch den See. Seine Geschwindigkeit wird beschrieben durch:

$\vec{v} = \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \text{m/s}$

Die partielle Ableitung beschreibt die Temperaturänderung für einen Beobachter, der still im Wasser steht und ergibt sich allein aus der Erwärmung des Sees. Sie ist:

$\frac{\partial\Theta}{\partial t} = 3 \, \text{K/s}$.

Die materielle Ableitung beschreibt die Temperaturänderung für einen Beobachter, der sich (bildlich: im Boot) mit dem Wasser mitbewegt. Sie ist:

$\frac{\text{D}\Theta}{\text{D}t} = \frac{\partial\Theta}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla\Theta = 3 \, \text{K/s} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \text{m/s} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \text{K/m} = 8 \, \text{K/s}$.

Letztere ist um den konvektiven Anteil von $5 \, \text{K/s}$ größer, weil sich das Boot in Richtung des wärmeren Gebietes bewegt.

Anwendung

Die substantielle Ableitung wird besonders in der Kontinuumsmechanik verwendet. Dazu gehören zum Beispiel die Bilanzgleichungen der Fluidmechanik oder der Festkörpermechanik in den Ingenieurswissenschaften. Sie taucht dort häufig dann auf, wenn das Verhalten des physikalischen Systems durch den Erhalt von Masse, Energie u. ä. beschrieben wird.

Grenzen des Begriffes und dessen Anwendung ergeben sich, wenn die Definition von materiellen Punkten oder zugehörigen Geschwindigkeiten fehlschlagen. Dies ist zum Beispiel in der Mischungstheorie mit mehreren Phasen oder auf atomarer Ebene der Fall, wenn kein Kontinuum mehr vorliegt. Unter Umständen wird der Begriff eines materiellen Punktes oder seiner zugehörigen Geschwindigkeit angepasst.

Herleitung

Im Folgenden wird die Herleitung für den Fall einer skalaren Größe Φ in einem Kartesischen Koordinatensystem skizziert.

Das totale Differential einer zeitabhängigen und 3-dimensional ortsabhängigen skalaren Größe $\Phi(\vec{x},t)$ lautet:

$\text{d}\Phi(\vec{x},t)=\frac{\partial\Phi}{\partial t}\text{d}t+\frac{\partial\Phi}{\partial x}\text{d}x+\frac{\partial\Phi}{\partial y}\text{d}y+\frac{\partial\Phi}{\partial z}\text{d}z$

Dies kann man umschreiben zu:

$\text{d}\Phi(\vec{x},t)=\frac{\partial\Phi}{\partial t}\text{d}t+\frac{\partial\Phi}{\partial x}u\text{d}t+\frac{\partial\Phi}{\partial y}v\text{d}t+\frac{\partial\Phi}{\partial z}w\text{d}t$

wobei:

u : Geschwindigkeitskomponente der Strömung in x-Richtung

v : Geschwindigkeitskomponente der Strömung in y-Richtung

w : Geschwindigkeitskomponente der Strömung in z-Richtung.

Für die Ableitung folgt damit

$\frac{\text{d}\Phi(\vec{x},t)}{\text{d}t}=\frac{\text{D}\Phi(\vec{x},t)}{\text{D}t}=\frac{\partial\Phi}{\partial t}+u\frac{\partial\Phi}{\partial x}+v\frac{\partial\Phi}{\partial y}+w\frac{\partial\Phi}{\partial z}$

und mit Einführung des Geschwindigkeitsvektors $\vec{v}$, welcher die Komponenten u, v, w enthält, folgt:

$\frac{\text{D}\Phi(\vec{x},t)}{\text{D}t}=\underbrace{\frac{\partial\Phi}{\partial t}}_{\mbox{lokal}}+\underbrace{\vec{v}\cdot\nabla\Phi}_{\mbox{konvektiv}}$

Literatur

• Haupt, P.: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer-Verlag, 2000 (S.21)
• Holzapfel, Gerhard A.: Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering., S.90 ff., Baffins Lane, Chichester, West Sussex PO19 1UD, England: JohnWiley & Sons Ltd., 2005
• Parisch, Horst: Festkörper-Kontinuumsmechanik. Teubner Verlag, 2003 (S.90)