Symbolische Dynamik


Symbolische Dynamik

Die Symbolische Dynamik ist ein Zweig der Theorie dynamischer Systeme, in dem Methoden der Formalen Sprachen (Grammatiktheorie, Automatentheorie, Komplexitätstheorie) und der Theorie stochastischer Prozesse zur Anwendung kommen.

Der Ausgangspunkt der symbolischen Dynamik ist ein zeitdiskretes dynamisches System (X,Φ) mit Zustandsraum X und Fluss  \Phi : \mathbb{T} \times X \to X , wobei  \mathbb{T} entweder gleich  \mathbb{N} oder für reversible Dynamik gleich  \mathbb{Z} ist. Durch eine Partition des Zustandsraums X in eine endliche Anzahl von n Teilmengen  A_1, A_2, \dots A_n gewinnt man eine Vorschrift, wie eine Anfangsbedingung  x_0 \in X auf eine Symbolsequenz abzubilden ist:

Weise der Anfangsbedingung x0 ein Symbol  a_{k_0} zu, wenn  x_0 \in A_{k_0} , weise dann dem Folgezustand x1 = Φ(1,x0) ein Symbol  a_{k_1} zu, wenn  x_1 \in A_{k_1} , kurz: Weise dem Zustand xt = Φ(t,x0) ein Symbol  a_{k_t} zu, wenn  x_t \in A_{k_t} . Die Folge der von der Bahnkurve  \{x_t | t \in \mathbb{T} \}  durchzogenen Teilmengen kann dann als Symbolsequenz  s = a_{k_0} . a_{k_1} a_{k_2} a_{k_3} \dots mit Symbolen  a_{k_t} \in \mathbf{A} angesehen werden. Dabei ist  \mathbf{A} ein endliches Alphabet bestehend aus sovielen Symbolen wie es Teilmengen der Partition gibt.

Abhängig von der Zeitmenge  \mathbb{T} erhält man entweder einseitig unendliche Symbolsequenzen  s = s_0 . s_1 s_2 \dots , wenn  \mathbb{T} = \mathbb{N} (engl. one-sided shifts), oder zweiseitig unendliche Symbolsequenzen  s = \dots s_{-2} s_{-1} s_0 . s_1 s_2 \dots , wenn  \mathbb{T} = \mathbb{Z} (engl. two-sided shifts). Der Punkt nach s0 kennzeichnet üblicherweise die Anfangsbedingung. Die Menge der Symbolsequenzen, der Zustandsraum der symbolischen Dynamik wird dann  \Sigma = \mathbf{A}^\mathbb{N} (einseitig), bzw.  \Sigma = \mathbf{A}^\mathbb{Z} geschrieben. Die obige Konstruktionsvorschrift einer Symbolsequenz entspricht dann einer Abbildung  \pi : X \to \Sigma , so daß π(x0) = s, wenn  \Phi(t, x_0) \in A_{k_t} , wobei der Teilmenge  A_{k_t} der Partition das Symbol  a_{k_t} \in \mathbf{A} zugeordnet ist.

Zwischen den symbolischen Darstellungen einer Anfangsbedingung x0 und ihrer ersten Iteration x1 = Φ(1,x0) besteht ein simpler Zusammenhang: Während x0 durch die Sequenz  s = s_0 . s_1 s_2 s_3 \dots dargestellt wird, beginnt die Konstruktion der Symbolsequenz für x1 mit dem Symbol s1. Daher wird x1 durch die Folge  s' = s_1 . s_2 s_3 s_4 \dots dargestellt. s' unterscheidet sich also von s dadurch, daß alle Symbole in s um eine Stelle nach links (oder der Punkt um eine Stelle nach rechts) gerückt sind. Daher gibt es eine Abbildung auf dem Raum der Symbolsequenzen  \sigma: \Sigma \to \Sigma , mit σ(s) = s'. Die Abbildung σ wird Linksverschiebung (engl. left-shift) genannt. (Σ,σ) heißen symbolische Dynamik. Zwischen dem ursprünglichen System (X,Φ) und der symbolischen Dynamik (Σ,σ) besteht der Zusammenhang  \pi \circ \Phi = \sigma \circ \pi .

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