Symmetrische Gruppe


Symmetrische Gruppe
Ein Cayleygraph der sym. Gruppe S4
Verknüpfungstafel der sym. Gruppe S3
(als Multiplikationstafel der Permutationsmatrizen)

Die symmetrische Gruppe Sn (oder \mathfrak{S}_n oder Symn) ist die Gruppe, die aus allen Permutationen (Vertauschungen) einer n-elementigen Menge besteht. Man nennt n den Grad der Gruppe. Die Gruppenoperation ist die Komposition (Hintereinanderausführung) der Permutationen; das neutrale Element ist die identische Abbildung. Die symmetrische Gruppe Sn ist endlich und besitzt die Ordnung n!. Sie ist für n > 2 nicht abelsch.

Inhaltsverzeichnis

Notation

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Permutation zu notieren. Bildet zum Beispiel eine Permutation p das Element 1 auf p1, das Element 2 auf p2 usw. ab, so kann man hierfür


  p = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots \\ p_1 & p_2 & p_3 & \dots \end{pmatrix}

schreiben. (Es ist nicht unbedingt gefordert, dass die Zahlen in der oberen Zeile geordnet sind.) In dieser Schreibweise erhält man die inverse Permutation p − 1, indem man die obere und die untere Zeile vertauscht.

Eine andere wichtige Schreibweise ist die Zyklenschreibweise:

Geht p1 in p2, p2 in p3, ..., pk in p1 über, und bleiben alle anderen Elemente invariant, so schreibt man hierfür


  p = \begin{pmatrix} p_1 & p_2 & p_3 & \dots & p_k \end{pmatrix},

und nennt dies einen Zyklus der Länge k. Jede Permutation kann als Produkt von disjunkten Zyklen geschrieben werden. (Hierbei heißen zwei Zyklen \begin{pmatrix} p_1 & p_2 & p_3 & \dots & p_k \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} q_1 & q_2 & q_3 & \dots & q_l \end{pmatrix} disjunkt, wenn p_i\neq q_j für alle i und j gilt.) Diese Darstellung als Produkt von disjunkten Zyklen ist sogar eindeutig bis auf die Reihenfolge der Zyklen (diese Reihenfolge kann beliebig sein: disjunkte Zyklen kommutieren stets miteinander).

Eigenschaften

Erzeugende Mengen

  • Jede Permutation kann als Produkt von Transpositionen (Zweierzyklen) dargestellt werden; je nachdem, ob diese Anzahl gerad- oder ungeradzahlig ist, spricht man von geraden oder ungeraden Permutationen. Unabhängig davon, wie man das Produkt wählt, ist diese Anzahl entweder immer gerade oder immer ungerade und wird durch das Signum der Permutation beschrieben. Die Menge der geradzahligen Permutationen bildet eine Untergruppe der Sn, die alternierende Gruppe An.
  • Auch die beiden Elemente \begin{pmatrix} 1 & 2 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n\end{pmatrix} erzeugen die symmetrische Gruppe Sn. Allgemeiner, ein beliebiger n-Zyklus zusammen mit einer beliebigen Transposition.[1]
  • Falls n\neq 4 lässt sich zu einem beliebigen Element (nicht die Identität) ein Zweites derart wählen, dass beide Elemente die Sn erzeugen.[2]

Konjugationsklassen

Zwei Elemente der symmetrischen Gruppe sind genau dann zueinander konjugiert, wenn sie dieselbe Zyklenstruktur aufweisen, das heißt, die Anzahl der Einer-, Zweier-, Dreier- usw. -Zyklen stimmen überein. In diesem Fall handelt es sich nur um eine Umnummerierung der Elemente, die permutiert werden.

Normalteiler

Die symmetrische Gruppe Sn besitzt außer den trivialen Normalteilern {id} und Sn nur die alternierende Gruppe An als Normalteiler, für n = 4 zusätzlich noch die Kleinsche Vierergruppe V.

Satz von Cayley

Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe G zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sn isomorph, wobei n nicht größer als die Ordnung von G ist.

Rechenbeispiele

Die Verkettung zweier Permutationen p1 und p2 wird als p_2 \circ p_1 geschrieben: zuerst wird die Permutation p1 ausgeführt, dann wird auf das Ergebnis die Permutation p2 angewandt (die Operationen sind von rechts nach links zu lesen).

Beispiel:


  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{pmatrix}\circ
  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1\end{pmatrix}
  = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2\end{pmatrix}.

In Zyklenschreibweise lautet dies:


  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}.

Zunächst bildet die „rechte“ Permutation die 4 auf die 1 ab, anschließend bildet die „linke“ Permutation die 1 auf die 2 ab; die gesamte Verkettung bildet also die 4 auf die 2 ab.

Für n > 2 ist die symmetrische Gruppe Sn nicht abelsch, wie man an folgender Rechnung sieht:


\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\2&3&1&\ldots\end{pmatrix}\circ
\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\2&1&3&\ldots\end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\3&2&1&\ldots\end{pmatrix}\ \neq
\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\2&1&3&\ldots\end{pmatrix}\circ
\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\2&3&1&\ldots\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1&2&3&\ldots\\1&3&2&\ldots\end{pmatrix}

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. [1]
  2. I. M. Isaacs and Thilo Zieschang, “Generating Symmetric Groups,” The American Mathematical Monthly 102, no. 8 (October 1995): 734-739.

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