Symmetrische Komponenten

In der Elektrotechnik wird die Methode der Symmetrischen Komponenten benutzt, um eine vereinfachte Analyse eines unbalancierten Fehlers in einem Drehstromsystem (Dreiphasen-Wechselstromsystem) vorzunehmen. Dabei wird ein unsymmetrisches System von Phasoren in Mitsystem, Gegensystem und Nullsystem aufgeteilt.

Ursachen

Gründe für einen unbalancierten Fehler sind zum Beispiel ein Kurzschluss (Außenleiter-Masse, Außenleiter-Außenleiter, Außenleiter-Außenleiter-Masse) im Gegensatz zu einem symmetrischen Fehler, der alle drei Außenleiter gleichermaßen betrifft. Im Gegensatz zu einem ausbalancierten Drehstromsystem, bei dem die Phasoren symmetrisch sind, addieren sich bei einem unbalancierten System aus 2 möglichen Gründen die Phasoren der Ströme oder Spannungen nicht zu null:

• Verschiedene Größen der drei Phasoren
• Abweichung vom üblichen 120° Phasenabstand (Phase als Winkel zwischen zwei Zeigern, vgl. Zeigerdiagramm)

Geschichte

Charles Legeyt Fortescue zeigte in einer 1918 präsentierten Arbeit (Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks), dass jedes unbalancierte Drehstromsystem als Summe von drei symmetrischen Phasoren-Sets dargestellt werden kann. Diese Analyse wurde von Ingenieuren bei General Electric und Westinghouse aufgegriffen und verbessert. Nach dem Zweiten Weltkrieg wurde sie zu einer breit akzeptierten Methode zur Analyse asymmetrischer Fehler in Drehstromnetzen. (vgl. hierzu Erdschlusskompensation)

Methode

Fortescue zeigte erstens, dass sich ein unsymmetrisches Phasorenset, das sich nicht zu null addiert, in ein unsymmetrisches Set, das sich jedoch zu null addiert und ein System gleicher Phasoren trennen lässt. Dann zeigte er zweitens, dass sich jedes unsymmetrische, jedoch zu null addierende Set von Phasoren in 2 symmetrische Sets gegenläufiger Sequenz (in gleicher Umlaufrichtung betrachtet: a-b-c = positiv, a-c-b = negativ) unterteilen lässt. Somit fand er die Aufteilung jedes beliebigen unsymmetrischen, nicht zu null summierenden Phasorensets in ein:

• Mitsystem (positive sequence component): Besitzt die gleiche Umlaufrichtung wie das ursprüngliche System.
• Gegensystem (negative sequence component): Hat eine gegenläufige Richtung zum ursprünglichen System. Es gleicht die Abweichung der Phasoren von der üblichen 120° Phasenverschiebung aus.
• Nullsystem (zero sequence component): Alle Phasoren haben die gleiche Richtung und die gleiche Länge. Dieses System gleicht die "Nicht-Addition" des ursprünglichen Systems zu null aus.

Mit der Erweiterung einer einpoligen Darstellung, um die Mit-, Gegen- und Nullsysteme von Generatoren, Transformatoren und anderen Geräten anzuzeigen, wird die Analyse von unbalancierten Umständen (z.B. Erdschlüssen) sehr vereinfacht. Somit kann ein Versorgungsnetz-Betreiber rasch den Ursprung des Fehlers erkennen und beheben. Die Aufteilung in symmetrische Komponenten kann auch auf höhere Phasenordnungen ausgeweitet werden.

Berechnung

Mit Hilfe der Fortescue-Matrix F können die Phasoren der symmetrischen Komponenten $\underline{I}_d$ (Mitsystem), $\underline{I}_i$ (Gegensystem), $\underline{I}_h$ (Nullsystem) aus den Phasenströmen $\underline{I}_{1}$, $\underline{I}_{2}$, $\underline{I}_{3}$ berechnet werden.

$\underline a=\mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{2\pi}{3}}$

$F=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \underline a^2 & \underline a & 1 \\ \underline a & \underline a^2 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{-2\pi}{3}} & \mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{2\pi}{3}} & 1 \\ \mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{2\pi}{3}} & \mathrm{e}^{\mathrm{j}\frac{-2\pi}{3}} & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \underline{I}_{1d}\\ \underline{I}_{1i}\\ \underline{I}_{1h} \end{pmatrix} =F^{-1} \cdot \begin{pmatrix} \underline{I}_{1}\\ \underline{I}_{2}\\ \underline{I}_{3} \end{pmatrix} =\frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 1 & \underline a & \underline a^2 \\ 1 & \underline a^2 & \underline a \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \underline{I}_{1}\\ \underline{I}_{2}\\ \underline{I}_{3} \end{pmatrix}$

Daraus ergibt sich für das Mitsystem:

$\underline{I}_{1d}=\frac{1}{3}\cdot(\underline{I}_{1}+\underline{I}_{2}\cdot \underline a + \underline{I}_{3}\cdot \underline a^2)$

$\underline{I}_{2d}=\underline{I}_{1d}\cdot \underline a^2$

$\underline{I}_{3d}=\underline{I}_{1d}\cdot \underline a$

Für das Gegensystem gilt:

$\underline{I}_{1i}=\frac{1}{3}\cdot(\underline{I}_{1}+\underline{I}_{2}\cdot \underline a^2 + \underline{I}_{3}\cdot \underline a)$

$\underline{I}_{2i}=\underline{I}_{1i}\cdot \underline a$

$\underline{I}_{3i}=\underline{I}_{1i}\cdot \underline a^2$

Und für das Nullsystem:

$\underline{I}_{1h}=\frac{1}{3}\cdot(\underline{I}_{1}+\underline{I}_{2} + \underline{I}_{3})$

$\underline{I}_{2h}=\underline{I}_{1h}$

$\underline{I}_{3h}=\underline{I}_{1h}$

Literatur

• Bernd R. Oswald: Berechnung von Drehstromnetzen - Berechnung stationärer und nichtstationärer Vorgänge mit Symmetrischen Komponenten und Raumzeigern. Vieweg + Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0617-8.