Symplektische Geometrie


Symplektische Geometrie

In der Mathematik bezeichnet eine symplektische Mannigfaltigkeit eine glatte Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer symplektischen Form ω, das heißt einer globalen glatten 2-Form, die punktweise nicht ausgeartet ist. Manchmal wird auch noch gefordert, dass die Form geschlossen ist, dass also dω = 0 gilt.

Inhaltsverzeichnis

Poisson-Klammer

Da die Form \omega=\sum_{ij}\omega_{ij}\,\mathrm dx^i\,\mathrm d x^j nicht ausgeartet ist, definiert sie mit ihrem Inversen an jedem Punkt eine bilineare Abbildung von Eins-Formen \eta=\sum_i\eta_i\, \mathrm d x^i und \chi=\sum_j\chi_j\, \mathrm d x^j

\Omega(\eta,\chi) =\sum_{ij} \omega^{ij}\,\eta_i\, \chi_j\,,\quad \sum_j \omega^{ij}\omega_{jk}=\delta^i{}_k

und die Poisson-Klammer der Funktionen f und g\,,

\{f, g\}=\Omega(\mathrm d f, \mathrm d g) = \sum_{ij}\omega^{ij}\,\partial_i f\, \partial_j g\,.

Hamiltonscher Fluss

In einem Euklidischen Raum ist der Gradient einer Funktion f dasjenige Vektorfeld gf, dessen Skalarprodukt mit jedem Vektorfeld w mit dem Anwenden von df auf w übereinstimmt,

(g_f,w) =\mathrm d f(w) = w(f)\,.

In einer symplektischen Mannigfaltigkeit gehört zu jeder Funktion h das Vektorfeld

v_h:f\mapsto \{f,h\}\,,

das Funktionen f längs der Integralkurven der zu h gehörigen Hamiltonschen Gleichungen ableitet. Das Vektorfeld vh ist der symplektische Gradient von h oder der infinitesimale Hamiltonsche Fluss von h.

Satz von Darboux

In der Umgebung jedes Punktes einer symplektischen Mannigfaltigkeit gibt es lokale Koordinaten qi,pi mit \omega = \sum_{i} \mathrm d q_i \and \mathrm d p_i\

Ein Beweis findet sich im Buch von Arnold in Kapitel 8.

Zusammenhang zur Hamiltonschen Mechanik

In der Hamiltonschen Mechanik ist der Phasenraum eine symplektische Mannigfaltigkeit mit der geschlossenen, symplektischen Form

\omega = \sum_{i} \mathrm d q_i \and \mathrm d p_i\,,\ \mathrm d \omega = 0\,.

Dies ist kein Spezialfall, denn nach dem Satz von Darboux lässt sich ω in lokalen Koordinaten immer als \sum_{i} \mathrm d q_i \and \mathrm d p_i\ schreiben. Bei symplektischen Mannigfaltigkeiten handelt es sich um die Phasenräume Hamiltonscher Mechanik.

Literatur

  • Arnold, V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (1989), ISBN 0-387-96890-3

Siehe auch


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