Symplektische Gruppe


Symplektische Gruppe

Die symplektische Gruppe ist ein Begriff aus der Mathematik, im Überlappungsbereich der Gebiete lineare Algebra und Gruppentheorie. Sie ist die Menge der linearen Abbildungen, die eine symplektische Form, das heißt eine nichtausgeartete alternierende Bilinearform, invariant lassen, so wie die orthogonale Gruppe der längentreuen Abbildungen eine nichtausgeartete, symmetrische Bilinearform invariant lässt. Die symplektische Gruppe in 2n Dimensionen ist eine halbeinfache Gruppe zum Wurzelsystem Cn.

Für jedes n \in \mathbb{N} und jeden Körper F mit Charakteristik ungleich zwei ist die symplektische Gruppe Sp2n(F) eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(2n,F).

Sp_{2n}(F) \colon= \left\{ T \in GL_{2n}(F)\mid\, T^{\text{T}}\,I_n\,T=I_n\right\}

mit


 I_n= \begin{pmatrix} 
    0 & E_n \\ 
    -E_n & 0 
  \end{pmatrix}

wobei En die n\times n Einheitsmatrix und 0 die n x n Nullmatrix bezeichnet.

Die symplektische Gruppe spielt beim Studium von symplektischen Räumen eine wichtige Rolle.

Literatur


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