Symplektische Mannigfaltigkeit


Symplektische Mannigfaltigkeit

Die symplektische Mannigfaltigkeit ist das zentrale Objekt der symplektischen Geometrie einem Teilgebiet der Differentialgeometrie. Die symplektischen Mannigfaltigkeiten haben eine sehr starke Beziehung zur Theoretischen Physik.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die symplektische Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer symplektischen Form ω, das heißt einer globalen, glatten und geschlossenen 2-Form, die punktweise nicht ausgeartet ist (siehe auch symplektischer Raum). „Geschlossen“ meint dω = 0.[1]

Symplektische Mannigfaltigkeiten müssen eine geradzahlige Dimension haben, da antisymmetrische Matrizen in ungeraden Dimensionen nicht invertierbar sind.

Poisson-Klammer

Hauptartikel: Poisson-Klammer

Da die Form \textstyle \omega=\sum_{ij}\omega_{ij}\,\mathrm dx^i\wedge\mathrm d x^j nicht ausgeartet ist, definiert sie mit ihrem Inversen an jedem Punkt eine bilineare Abbildung von Eins-Formen \textstyle \eta=\sum_i\eta_i\, \mathrm d x^i und \textstyle \chi=\sum_j\chi_j\, \mathrm d x^j

\Omega(\eta,\chi) =\sum_{ij} \omega^{ij}\,\eta_i\, \chi_j\,,\quad \sum_j \omega^{ij}\omega_{jk}=\delta^i{}_k

und die Poisson-Klammer der Funktionen f und g,

\{f, g\}=\Omega(\mathrm d f, \mathrm d g) = \sum_{ij}\omega^{ij}\,\partial_i f\, \partial_j g\,.

Hamilton’scher Fluss

In einem Euklidischen Raum ist der Gradient einer Funktion f dasjenige Vektorfeld gf, dessen Skalarprodukt \langle g_f,w\rangle für jedes gegebene Vektorfeld w mit der Anwendung von df auf w übereinstimmt,

\langle g_f,w\rangle =\mathrm d f[w] = w[f]\,.

In einer Symplektischen Mannigfaltigkeit gehört zu gegebenem f und einer gegebenen beliebigen Funktion h das Vektorfeld

v_h:f\mapsto \{f,h\}\,,

das Funktionen f längs einer Integralkurve der zu h (interpretiert als sog. Hamiltonfunktion des Systems) gehörigen hamiltonschen Gleichungen ableitet. Die Rolle von w wird hier also durch h übernommen, und es wird für h die Symplektische Geometrie bzw. die Hamilton’sche Dynamik benutzt.

Das Vektorfeld \,v_h ist also der Symplektische Gradient von h oder der infinitesimale Hamilton’sche Fluss von h.

Satz von Darboux

Der Satz von Darboux benannt nach dem Mathematiker Jean Gaston Darboux besagt:

In der Umgebung jedes Punktes einer symplektischen Mannigfaltigkeit gibt es lokale Koordinatenpaare (\mathrm q_i\,, \mathrm p_i) mit

\omega = \sum_{i} \mathrm d q_i \and \mathrm d p_i\,.

Ein Beweis findet sich im Buch von V. I. Arnold in Kapitel 8.[2]. Die so definierten Koordinatenpaare werden als „kanonisch konjugiert“ bezeichnet.

Beziehung zur Hamiltonschen Mechanik

In der Hamiltonschen Mechanik ist der Phasenraum eine symplektische Mannigfaltigkeit mit der geschlossenen, symplektischen Form

\omega = \sum_{i} \mathrm d q_i \and \mathrm d p_i\,,\ \mathrm d \omega = 0\,.

Dies ist kein Spezialfall, denn nach dem Satz von Darboux lässt sich ω in lokalen Koordinaten immer als \textstyle \sum_{i} \mathrm d q_i \and \mathrm d p_i\ schreiben. Bei symplektischen Mannigfaltigkeiten handelt es sich um die Phasenräume Hamiltonscher Mechanik.

Die mathematische Aussage bzgl. ω ist in der Tat äquivalent zu den sog. Kanonischen Gleichungen der Theoretischen Physik, speziell in der Analytischen Mechanik.

In diesem Zusammenhang ist auch das sog. Liouville-Theorem von Bedeutung, das in der Statistischen Physik eine grundlegende Rolle spielt. Es besagt im Wesentlichen, dass bei Hamilton'schen Flüssen das Phasenraumvolumen konstant bleibt, was für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsmaße dieser Theorie entscheidend ist.

Siehe auch

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Definition symplektischer Mannigfaltigkeiten nach Vladimir I. Arnold Mathematical Methods of Classical Mechanics. 2. Auflage, Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3, S. 201 ( Kapitel 8 – Symplectic Manifolds). Ebenso in Ana Cannas da Silva: Lectures on Symplectic Geometry. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-42195-5. Manchmal wird auch auf die Forderung der Geschlossenheit verzichtet und nur die Existenz einer symplektischen Struktur gefordert.
  2. V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics.2. Auflage, Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3.

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Symplektische Form — Symplektische Formen sind in der Mathematik nichtausgeartete alternierende Bilinearformen, siehe symplektischer Raum punktweise nicht ausgeartete geschlossene 2 Formen auf Mannigfaltigkeiten, siehe symplektische Mannigfaltigkeit Diese Seite ist… …   Deutsch Wikipedia

  • Symplektische Feldtheorie — Floer Homologien (FH) bezeichnet in der Topologie und Differentialgeometrie eine Gruppe ähnlich konstruierter Homologie Invarianten. Sie haben ihren Ursprung im Werk von Andreas Floer und sind seitdem ständig weiterentwickelt worden. Floer… …   Deutsch Wikipedia

  • Symplektische Geometrie — In der Mathematik bezeichnet eine symplektische Mannigfaltigkeit eine glatte Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer symplektischen Form ω, das heißt einer globalen glatten 2 Form, die punktweise nicht ausgeartet ist. Manchmal wird auch noch… …   Deutsch Wikipedia

  • Symplektische Struktur — In der Mathematik bezeichnet eine symplektische Mannigfaltigkeit eine glatte Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer symplektischen Form ω, das heißt einer globalen glatten 2 Form, die punktweise nicht ausgeartet ist. Manchmal wird auch noch… …   Deutsch Wikipedia

  • Symplektische Topologie — In der Mathematik bezeichnet eine symplektische Mannigfaltigkeit eine glatte Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer symplektischen Form ω, das heißt einer globalen glatten 2 Form, die punktweise nicht ausgeartet ist. Manchmal wird auch noch… …   Deutsch Wikipedia

  • Stabile Abbildung (symplektische Topologie) — In der symplektischen Topologie kann man den Modulraum stabiler Abbildungen, von Riemannflächen in eine gegebene symplektische Mannigfaltigkeit definieren. Dieser Modulraum ist wesentlich für die Konstruktion der Gromov Witten Invarianten, die in …   Deutsch Wikipedia

  • Poisson-Mannigfaltigkeit — Als Poisson Mannigfaltigkeit bezeichnet man in der Mathematik eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M, die mit einer bilinearen Algebra der glatten Funktionen auf M versehen ist, welche die Eigenschaften einer Poissonklammer erfüllt. Definition… …   Deutsch Wikipedia

  • Kähler-Mannigfaltigkeit — In der Mathematik bezeichnet man mit Kählermannigfaltigkeit (nach Erich Kähler) eine glatte Mannigfaltigkeit M zusammen mit einer komplexen Struktur J und einer Riemannschen Metrik (im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit) g, die mit… …   Deutsch Wikipedia

  • Floer-Homologie — Floer Homologien (FH) bezeichnet in der Topologie und Differentialgeometrie eine Gruppe ähnlich konstruierter Homologie Invarianten. Sie haben ihren Ursprung im Werk von Andreas Floer und sind seitdem ständig weiterentwickelt worden. Floer… …   Deutsch Wikipedia

  • Floerhomologie — Floer Homologien (FH) bezeichnet in der Topologie und Differentialgeometrie eine Gruppe ähnlich konstruierter Homologie Invarianten. Sie haben ihren Ursprung im Werk von Andreas Floer und sind seitdem ständig weiterentwickelt worden. Floer… …   Deutsch Wikipedia