T1-Raum


T1-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind T1-Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Das T1-Axiom ist ein Beispiel eines Trennungsaxioms.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei X ein topologischer Raum und x und y zwei Punkte in X. Man sagt, dass x und y getrennt sind oder getrennt werden können, falls x und y je in einer offenen Menge liegen, die den anderen Punkt nicht enthält.

X heißt T1-Raum, falls zwei beliebige Punkte getrennt sind. Man sagt auch, dass ein T1-Raum eine Fréchet-Topologie besitzt. Zu vermeiden ist in diesem Zusammenhang die Bezeichnung Fréchet-Raum, die ein Begriff aus der Funktionalanalysis ist.

Eigenschaften

Sei X ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:

  • X ist ein T1-Raum.
  • X ist ein Kolmogoroff-Raum und ein R0-Raum.
  • Alle einpunktigen Mengen in X sind abgeschlossen.
  • Jede endliche Menge ist abgeschlossen.
  • Jede Menge mit endlichem Komplement ist offen.
  • Jeder Elementarfilter zu x konvergiert nur gegen x.
  • Für jede Teilmenge S von X gilt, dass ein Element x aus X genau dann ein Häufungspunkt von S ist, wenn jede offene Umgebung von x unendlich viele Elemente enthält.

In topologischen Räumen gelten immer folgende Implikationen

getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar ⇒ disjunkt

Falls der erste Pfeil umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R0-Raum, genau in einem T0-Raum gilt dies auch für die zweite Implikation. Damit sieht man, dass ein topologischer Raum genau dann T1 erfüllt, wenn er sowohl ein R0-Raum und ein T0-Raum ist.

Beispiele

Die Zariski-Topologie auf einer algebraischen Varietät (im klassischen Sinne) ist T1. Um das zu sehen betrachten wir einen Punkt mit lokaler Koordinate (c_1,\ldots c_n). Die dazugehörige einpunktige Menge ist die Nullstellenmenge der Polynome X-c_1,\ldots,X-c_n. Der Punkt ist somit abgeschlossen.

Für ein weiteres Beispiel betrachten wir die Menge der ganzen Zahlen \mathbb{Z}. Als offene Menge definieren wir genau die leere Menge und die Mengen mit endlichem Komplement. Sie haben also alle die Gestalt O_A = O\setminus A mit einer endlichen Menge A. Seien nun x und y zwei verschiedene Punkte. Die Menge Ox ist eine offene Menge, die y enthält und x nicht. Andererseits enthält Ox das Element x aber y nicht. Somit handelt es sich tatsächlich um einen T1-Raum. Dies kann man aber auch aus der Tatsache folgern, dass einelementige Mengen abgeschlossen sind. Dieser Raum ist aber kein T2-Raum. Denn für zwei endliche Mengen A und B gilt O_{A}\cap O_{B} = O_{A\cup B}, was nie leer sein kann. Weiter ist die Menge der geraden Zahlen kompakt, aber nicht abgeschlossen, was in einem T2-Raum nie der Fall sein kann.

Literatur


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Raum (Architektur) — Raum ist das primäre Medium der Architektur. Architektur schafft, gestaltet und gliedert Raum. Die Definition, Bemessung, Gliederung, Fügung und formale Gestaltung von Raum ist die wichtigste Aufgabe der Architektur. Inhaltsverzeichnis 1 Begriffe …   Deutsch Wikipedia

  • Raum the Old — (Old Norse: Raumr inn gamli ) is a legendary king in Norway in the Hversu Noregr byggdist and in Thorsteins saga Víkingssonar.In Hversu Noregr byggdist Raum and his sonsIn Heversu Noregr byggdist , Raum is one of the three sons of Nór, the… …   Wikipedia

  • Raum — (ahd. rūmi „weit“, „geräumig“) bezeichnet: Zimmer, ein zum Nutzen verwendeter, umschlossener Teil eines Gebäudes Volumen, eine in Länge, Breite, Höhe fest eingegrenzte Ausdehnung Raum (Physik), den physikalischen Raum als „Behälter“ aller Dinge… …   Deutsch Wikipedia

  • Raum — der; (e)s, Räu·me; 1 der Teil eines Gebäudes, der einen Fußboden, Wände und eine Decke hat ≈ Zimmer: eine Wohnung mit vier Räumen: Küche, Bad, Wohnzimmer und Schlafzimmer || K : Raumaufteilung, Raumgestaltung, Raumklima, Raumtemperatur || K:… …   Langenscheidt Großwörterbuch Deutsch als Fremdsprache

  • Raum (Stollberg) — Raum Stadt Stollberg/Erzgeb. Koordinaten …   Deutsch Wikipedia

  • Raum-Zeit — Raum Zeit,   Raumzeit, Relativitätstheorie: die Zusammenfassung der drei Raumdimensionen mit der Zeit als vierter Koordinate zu einem vierdimensionalen metrischen Raum (Raum Zeit Kontinuum, Raum Zeit Welt). Der Begriff der Raum Zeit ist Ausdruck… …   Universal-Lexikon

  • Raum- und Objektdesigner — ist die Berufsbezeichnung für einen staatlich geprüften Designer. Der Beruf ist im Handwerk verwurzelt, denn die Ausbildung zum Handwerksmeister bildet den Grundstock dieses Berufes . Seine besondere Voraussetzung ist ein Verständnis für Raum,… …   Deutsch Wikipedia

  • Raum — Saltar a navegación, búsqueda En demonología, Raum es un Gran Duque del Infierno que comanda treinta legiones de demonios. En Pseudomonarchia daemonum (1583) de Johann Wier se le describe de la siguente manera: Raum o Raim es un gran Conde, se… …   Wikipedia Español

  • Raum und Zeit in der Musik: Verräumlichte Zeiten —   Zeit als solche besitzt keine Eigenschaften, sie ist Abstraktion des Vor und Nacheinanders von Ereignissen und wird nur durch das Miterleben und Mitbewusstsein von Vorgängen konkret fassbar. Das Bewusstsein kann sich jedoch erst im Zeitstrom… …   Universal-Lexikon

  • Raum & Zeit — Raum Zeit ist eine alle zwei Monate im Ehlers Verlag erscheinende Zeitschrift. Ihre Verleger sehen sie als „wissenschaftliche, völlig unabhängige Fachzeitschrift“ an, die Informationen veröffentliche, „die besonders von Fachzeitschriften, aber… …   Deutsch Wikipedia

  • Raum — * Raum, er, ste, adj. et adv. einen beträchtlichen Raum enthaltend, so wohl in engerer Bedeutung, den zu gewissen körperlichen Veränderungen nöthigen Raum enthaltend, in der ersten Bedeutung des folgenden Hauptwortes. Ein raumes Zimmer. Das Haus… …   Grammatisch-kritisches Wörterbuch der Hochdeutschen Mundart