T2-Raum


T2-Raum
Hausdorff-Raum (T2)

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

umfasst als Spezialfälle

Beispiele sind

Ein Hausdorff-Raum (nach Felix Hausdorff) oder separierter Raum ist ein topologischer Raum M, in dem das folgende Trennungsaxiom T2 (auch Hausdorffeigenschaft oder Hausdorff'sches Trennungsaxiom genannt) gilt:

Für alle x,y aus M mit xy existieren disjunkte offene Umgebungen U(x) und V(y).

Mit anderen Worten: alle paarweise verschiedenen Punkte x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt.

Inhaltsverzeichnis

Einordnung in die Hierarchie topologischer Räume

Ein Hausdorff-Raum ist präregulär (R1):

alle paarweise topologisch unterscheidbaren Punkte x und y aus M werden durch Umgebungen getrennt,

und hat die Kolmogoroff-Eigenschaft (T0):

alle paarweise verschiedenen Punkte x und y aus M sind topologisch unterscheidbar.

Topologisch unterscheidbar heißen zwei Punkte x und y genau dann, wenn es eine offene Menge gibt, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht.

Beweis:

  • Wenn R1 und T0 gegeben sind, folgt unmittelbar T2: diesen Schluss kann man rein formal ziehen, ohne zu wissen, was topologisch unterscheidbar überhaupt heißt.
  • Der umgekehrte Schluss von T2 auf R1 und T0 geht so:
    • Aus der Definition von T2 folgt für verschiedene x, y die Existenz der Menge U(x), die x, aber nicht y enthält, ergo gilt T0.
    • Seien x, y zwei topologisch unterscheidbare Punkte: dann gibt es eine Menge, die den einen Punkt enthält, den anderen aber nicht; somit ist xy. Dann folgt mit T2, dass x und y durch Umgebungen getrennt sind. Ergo gilt R1.

Spezialisierung

Ein Hausdorff-Raum, der zusätzlich noch normal ist, wird als T4-Raum bezeichnet.

Beispiele

Insbesondere sind in topologischen Hausdorff-Räumen Grenzwerte - anders als in allgemeinen topologischen Räumen - eindeutig.

So gut wie alle in der Analysis betrachteten Räume sind Hausdorff-Räume. Insbesondere ist jeder metrische Raum ein Hausdorff-Raum.

Ein Beispiel für einen Hausdorff-Raum, der kein metrischer Raum ist, ist die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der gewöhnlichen Ordnungstopologie.

Wird das Spektrum eines Ringes mit der Zariski-Topologie versehen, erhält man einen nüchternen topologischen Raum, der meist nicht präregulär, geschweige denn hausdorffsch ist.

Literatur

  • B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie, Springer, Berlin 2001, ISBN 3540677909

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