Tangens


Tangens
Schaubild Tangens
Schaubild Kotangens

Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle. Der Tangens des Winkels x wird mit tanx bezeichnet, der Kotangens des Winkels x mit cotx.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Historisch/geometrisch

Definition am Einheitskreis

Die Bezeichnung „Tangens“ stammt von dem in Flensburg geborenen Mathematiker Thomas Finck (1561–1656), der sie 1583 einführte. Die Bezeichnung entwickelte sich aus complementi tangens, also Tangens des Komplementärwinkels. [1]

Die Wahl des Namen Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge eines Tangentenabschnitts:

\overline{DT} = \tan b \qquad\qquad \overline{EK} = \cot b
Ein rechtwinkliges Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels α das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:


\tan \alpha=\frac{l_{\rm GK}}{l_{\rm AK}}=\frac{a}{b}
\qquad\qquad
\cot \alpha=\frac{l_{\rm AK}}{l_{\rm GK}} = \frac{b}{a}

Daraus folgt unmittelbar:

 \cot\alpha=\frac{1}{\tan\alpha}
 \tan\alpha=\frac{1}{\cot\alpha}

sowie

\tan\alpha = \cot\beta = \cot(90^\circ-\alpha).

Formal – mit Definitions- und Wertebereich

Formal kann die Tangensfunktion mittels der Sinus- und Kosinusfunktionen durch

\tan:D\to W, mit \tan x:=\frac{\sin x}{\cos x}

definiert werden[2], wobei der Wertebereich W je nach Anwendung die reellen \R oder die komplexen Zahlen \mathbb C sind. Um zu verhindern, dass der Nenner cosx Null wird, werden beim Definitionsbereich D die Nullstellen der Cosinus-Funktion weggelassen:

D=\R\setminus\left\{k\pi + \frac \pi 2, k\in\mathbb Z\right\}

im Reellen bzw.

D=\mathbb C\setminus\left\{k\pi + \frac \pi 2, k\in\mathbb Z\right\}

im Komplexen.

Der Kotangens kann analog dazu durch

\cot:D\to W, mit \cot x:=\frac{\cos x}{\sin x}

definiert werden, wobei sich für dessen Definitionsbereich

D=\R\setminus\left\{k\pi, k\in\mathbb Z\right\}

im Reellen bzw.

D=\mathbb C\setminus\left\{k\pi, k\in\mathbb Z\right\}

im Komplexen ergibt, wenn gewährleistet werden soll, dass der Nenner sinx ungleich Null ist.

Für den gemeinsamen Definitionsbereich von tan und cot

\mathbb C\setminus\left\{\frac{k\pi}2, k\in\mathbb Z\right\}

gilt

\cot x = \frac 1{\tan x}.

Eigenschaften

Periodizität

Periodenlänge π : \tan(x+\pi) = \tan(x) \,

Monotonie

Tangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton steigend.

Kotangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton fallend.

Symmetrien

Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

\tan(-x) = -\tan x \qquad\qquad \cot(-x) = -\cot x

Nullstellen

Tangens: x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}
Kotangens:    x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\, ;\, n \in \mathbb{Z}

Polstellen

Tangens: x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}
Kotangens:    x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}

Wendepunkte

Tangens: x = n \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}
Kotangens:    x = \left(\frac{1}{2} + n\right) \cdot \pi\ ;\quad n \in \mathbb{Z}

Sowohl die Tangensfunktion als auch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, aber keine Sprungstellen oder Extrema.

Wichtige Funktionswerte

Tangens Kotangens Ausdruck num. Wert
\tan0^\circ \cot90^\circ 0\, 0
\tan22{,}5^\circ \cot67{,}5^\circ \sqrt2-1 0,4142135...
\tan30^\circ \cot60^\circ \tfrac13\sqrt3 0,5773502...
\tan45^\circ \cot45^\circ 1\, 1
\tan60^\circ \cot30^\circ \sqrt3 1,7320508...
\tan67{,}5^\circ \cot22{,}5^\circ \sqrt2+1 2,4142135...
\lim_{\alpha \to 90^\circ} \tan\alpha \lim_{\alpha \to 0^\circ} \cot\alpha \pm\infty\, Polstelle

Umkehrfunktion

Durch passende Einschränkung der Definitionsbereiche erhält man eine Bijektion

Tangens
\tan:\,\left(-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right)\to\R.

Ihre Umkehrfunktion

\operatorname{arctan}:\R\to\,\left(-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\right)

heißt Arkustangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Kotangens
\cot:\,(0,\,\pi)\to\R.

Ihre Umkehrfunktion

\operatorname{arccot}:\R\to\,(0,\,\pi)

heißt Arkuskotangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Reihenentwicklung

Tangens
Die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt x = 0 (MacLaurinsche Reihe) lautet für |x|<\frac{\pi}{2}[3]
\begin{align}
  \tan x &= x+\frac13 x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\dotsb\\
         &= \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} \left(2^{2n} -1\right)}{(2n)!} \cdot B_n x^{2n - 1}.
\end{align}

Dabei sind mit Bn die Bernoulli-Zahlen bezeichnet.

Kotangens
Die Laurent-Reihe lautet für 0 < | x | < π[4]
\begin{align}
\cot x &amp;amp;amp;= \frac 1x - \frac 13x - \frac 1{45}x^3 - \frac 2{945}x^5 - \frac 1{4725}x^7 - \dotsb\\
         &amp;amp;amp;= \frac{1}{x}-\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{n}}{(2n)!} x^{2n - 1}.
\end{align}

Die Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet für x\in\mathbb C\setminus\mathbb Z

\begin{align}
  \pi\cot\pi x &amp;amp;amp;= \frac1x+\sum_{k=1}^\infty\left(\frac1{x+k}+\frac1{x-k}\right)\\
               &amp;amp;amp;= \frac1x+\sum_{k=1}^\infty\frac{2x}{x^2-k^2}.
\end{align}

Ableitung

Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf:

Tangens
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\tan x = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x
Kotangens
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\cot x = -1 - \cot^2 x = -\frac1{\sin^2x}=- \csc^2 x

Integral

Tangens
\int \tan (ax+b)\ \mathrm dx = - \frac{\ln|\cos (ax+b)|}{a}+C
Kotangens
\int \cot (ax+b)\ \mathrm dx = \frac{\ln|\sin (ax+b)|}{a}+C

Komplexes Argument

\tan(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x) + \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{\sinh(2y)}{\cos(2x) + \cosh(2y)}
  mit  x,y \in \mathbb{R}


\cot(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{-\sin(2x)}{\cos(2x) - \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{\sinh(2y)}{\cos(2x) - \cosh(2y)}
  mit  x,y \in \mathbb{R}

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme für Tangens und Kotangens lauten

\tan(x \pm y)=\frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x\tan y} \qquad \cot(x \pm y)=\frac{\cot x\cot y \mp 1}{\cot y \pm \cot x}

Eine symmetrische Formulierung lautet: Genau dann gilt

\tan x+\tan y+\tan z=\tan x \tan y \tan z \, bzw. \cot x \cot y+\cot y \cot z+\cot z \cot x=1 \,

wenn x + y + z ein Vielfaches von π ist.

Rationale Parametrisierung

Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist t=\tan\frac\alpha2, so ist

\sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2},\quad\cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad\tan\alpha=\frac{2t}{1-t^2}.

Insbesondere ist

\R\to\R^2,\quad t\mapsto\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)

eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes ( − 1,0) (der dem Parameter t=\infty entspricht). Einem Parameterwert t entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von ( − 1,0) und (1,2t) mit dem Einheitskreis.

Anwendung: Tangens und Steigungswinkel

Der Tangens liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen: Jede lineare Funktion f:\R\to\R,\;x\mapsto mx + c besitzt als Graphen eine Gerade. Der Tangens des Winkels zwischen der Geraden und der x-Achse entspricht genau der Steigung m der Geraden, d. h. m = \tan\,\alpha

Bei negativer Steigung (m < 0) gilt: m = − tanα

Die als Steigung einer Straße angegebene Prozentzahl ist der Tangens des Steigungswinkels.

Differentialgleichung

Der Tangens ist eine Lösung der Riccati-Gleichung

w' = 1 + w2.

Faktorisiert man die rechte Seite, so erhält man

w' = 1 + w2 = (w + i)(w − i)

mit der imaginären Einheit i. Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Picardschen Ausnahmewerte i, − i: Diese Werte werden niemals angenommen, da die konstanten Funktionen i und − i Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschließt, dass zwei Lösungen durch denselben Punkt gehen.

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Josef Laub (Hrsg.) Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band.. Hölder-Pichler-Tempsky, 2. Auflage, Wien 1977. ISBN 3-209-00159-6, S. 223.
  2. Per Dreisatz ist sin/cos = tan/1.
  3. Milton Abramowitz and Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 4.3.67
  4. Milton Abramowitz and Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 4.3.70

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