Tangente

Tangente
Kreis mit Tangente, Sekante und Passante
Schwarzer Graph und rote Tangente

Eine Tangente (von lateinisch: tangere = „berühren“) ist in der Geometrie eine Gerade, die eine gegebene Kurve in einem bestimmten Punkt berührt. Ein Beispiel ist eine Schiene, die von einem Rad in einem einzigen Punkt berührt wird. Tangente und Kurve haben im Berührungspunkt die gleiche Richtung. Die Tangente ist in diesem Punkt die beste lineare Annäherung für die Kurve.

Besonders einfach sind die Verhältnisse beim Kreis: Alle Geraden können bezüglich eines Kreises unterschieden werden in Sekanten, Tangenten und Passanten – je nachdem, ob sie mit dem Kreis zwei Punkte, einen oder gar keinen Punkt gemeinsam haben. Die Kreistangente trifft den Kreis also in genau einem Punkt. Sie steht dort senkrecht auf dem zu diesem Punkt gehörenden Berührungsradius.

Auch im allgemeinen Fall steht die Tangente senkrecht auf dem zum Berührungspunkt gehörenden Radius des Krümmungskreises, sofern dieser existiert. Sie kann aber mit der Ausgangskurve noch weitere Punkte gemeinsam haben. Ist ein weiterer Punkt (der Ausgangskurve oder einer anderen Kurve) ebenfalls Berührpunkt, so spricht man von einer Bitangente.

Inhaltsverzeichnis

Tangente in der Analysis

Ist die gegebene Kurve der Graph einer reellen Funktion f, dann ist die Tangente t im Punkt P(x0 | f(x0)) die Gerade, die dort die gleiche Steigung wie die Kurve hat. Die Steigung mT der Tangente t ist also gleich der ersten Ableitung von f an der Stelle x0: mT = f'(x0). Die Gleichung der Tangente t ist somit:

y \, = \, f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0)

(siehe auch: Punkt-Steigungs-Formel).

Die Tangente entspricht der besten linearen Näherung für die Funktion f an der Stelle x0:

 f(x) \, \approx \, f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x-x_0) für  x \, \approx \, x_0

Differenzialgeometrie

Eine Kurve im \mathbb{R}^n sei durch eine auf dem reellen Intervall [a,b] definierte Funktion \gamma:\,[a,b]\to\mathbb{R}^n gegeben. Ist \gamma (t_0)\, (mit t_0 \in [a,b]) ein Kurvenpunkt, so nennt man die erste Ableitung von γ an der Stelle t0 (also \gamma\,'(t_0)\,) einen Tangentialvektor. Eine Kurventangente in diesem Punkt ist eine Gerade durch den Punkt γ(t0), die die gleiche Richtung wie der Tangentialvektor hat.

Voraussetzungen

Eine Tangente kann in der Regel nur existieren, wenn die zugrunde liegende Funktion (oder die zugrunde liegenden Funktionen) differenzierbar ist/sind.

Ein einfaches Gegenbeispiel:

Die Betragsfunktion x \mapsto |x| ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar. Der zugehörige Funktionsgraph hat an dieser Stelle einen „Knick“, so dass es hier sinnlos ist, von der Tangente zu sprechen.

An einer Knickstelle existiert aber möglicherweise eine rechtsseitige und/oder eine linksseitige Ableitung; es kann also eine Rechts-Tangente und/oder eine Links-Tangente geben.

Ist eine Funktion an einer Stelle x0 ihres Definitionsbereichs zwar nicht differenzierbar, strebt der Wert der Ableitungsfunktion für x \to x_0 betragsmäßig jedoch gegen Unendlich, so hat der Funktionsgraph an dieser Stelle eine senkrechte Tangente (eine Parallele zur y-Achse als Tangente). Ein Beispiel hierfür ist die Funktion x\mapsto \sqrt[3]{x}, die für alle reellen Zahlen definiert ist, aber an der Stelle x0 = 0 nicht differenzierbar ist. Dort liegt eine senkrechte Tangente vor.

Siehe auch

Weblinks

Wiktionary Wiktionary: Tangente – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

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См. также в других словарях:

  • tangente — [ tɑ̃ʒɑ̃t ] n. f. • 1626; lat. tangens, entis→ tangent 1 ♦ Géom. Tangente à une courbe, à une surface : droite tangente en un point à cette courbe, à cette surface. Les tangentes à un cercle sont perpendiculaires aux rayons. Mener d un point… …   Encyclopédie Universelle

  • Tangente — eines geometrischen Gebildes ist eine solche Gerade, welche dasselbe in zwei aufeinander folgenden (konsekutiven) Punkten schneidet. A. Die Tangente der ebenen Kurve f (x y) = 0 hat die Gleichung (ξ – x) ∂ f/∂ x +… …   Lexikon der gesamten Technik

  • tangente — (Del ant. part. act. de tangir; lat. tangens, entis). 1. adj. Que toca. 2. Geom. Dicho de dos o más líneas o superficies: Que se tocan o tienen puntos comunes sin cortarse. 3. f. Geom. Recta que toca a una curva o a una superficie sin cortarlas.… …   Diccionario de la lengua española

  • Tangente — Sf eine Kurve in einem Punkt berührende Gerade erw. fach. (18. Jh.) Neoklassische Bildung. Neubildung zu l. tangēns ( entis) berührend , dem PPräs. von l. tangere (tāctum) berühren .    Ebenso nndl. tangente, ne. tangent, nfrz. tangente, nschw.… …   Etymologisches Wörterbuch der deutschen sprache

  • tangente — adjetivo,sustantivo femenino 1. Área: geometría [Línea, superficie] que toca a otra o tiene puntos comunes con ella: dos círculos tangentes. Frases y locuciones 1. salirse / irse por la tang …   Diccionario Salamanca de la Lengua Española

  • Tangente — (lat., »Berührende« oder Berührungslinie) einer krummen Linie oder Kurve (s. d.) heißt jede Gerade, welche die Kurve in einem Punkte so schneidet, daß in diesem Punkte zwei Schnittpunkte der Geraden und der Kurve zusammenfallen. Man sagt dann,… …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Tangente — (v. lat.). 1) so v.w. Berührende, d.h. eine Gerade, welche mit einer krummen Linie einen Punkt gemein hat u. beiderseits wenigstens bis zu endlicher Entfernung verlängert ganz auf Einer Seite der Curve liegt. Man kann sie als eine Schneidende… …   Pierer's Universal-Lexikon

  • Tangénte — (lat., »Berührende«), jede gerade, nur in einem Punkt mit einer Kurve zusammenfallende Linie; Tangentialebene das entsprechende bei Flächen. Die T. eines Kreises steht senkrecht auf dem Radius des berührten Kreispunkts. Die T. eines Winkels (tan …   Kleines Konversations-Lexikon

  • Tangente — Tangente, in der Geometrie eine gerade Linie, welche eine krumme Linie in der Art berührt, daß sie mit dieser nur einen Punkt gemein hat und in diesem mit der Curve gleiche Richtung. Beim Kreise erhält man eine T. durch Errichtung einer… …   Herders Conversations-Lexikon

  • tangente — adj. 2 g. 1. Que tange, que toca. 2.  [Geometria] Que toca uma linha ou uma superfície num só ponto. • s. f. 3.  [Geometria] Linha reta que toca um plano ou outra linha num só ponto. 4.  [Figurado] Único meio que se apresenta para sairmos de uma… …   Dicionário da Língua Portuguesa

  • Tangente — »Gerade, die eine Kurve in einem bestimmten Punkt berührt«: Der mathematische Fachausdruck ist eine gelehrte Entlehnung aus lat. tangens (tangentis) »berührend«, dem Part. Präs. von lat. tangere (tactum) »berühren, anfassen«, und wurde im 16. Jh …   Das Herkunftswörterbuch


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