Taylor-Formel


Taylor-Formel

In der Analysis verwendet man die Taylor-Formel (nach dem Mathematiker Brook Taylor), um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch Polynome, die sogenannten Taylor-Polynome, anzunähern. Man spricht auch von der Taylor-Näherung. Die Taylor-Formel ist aufgrund ihrer relativ einfachen Anwendbarkeit und Nützlichkeit ein Hilfsmittel in vielen Natur- und Ingenieurwissenschaften geworden.

Eng verwandt mit der Taylor-Formel ist die sogenannte Taylorreihe.

Inhaltsverzeichnis

Motivation

Eine Näherung für eine differenzierbare Funktion f an einer Stelle a durch eine Gerade, also durch ein Polynom 1. Grades, ist gegeben durch die Tangente

T1(x) = f(a) + f'(a)(xa).

Sie lässt sich dadurch charakterisieren, dass an der Stelle x = a die Funktionswerte und die Werte der 1. Ableitung (= Steigung) von f und T1 übereinstimmen: f(a) = T1(a),f'(a) = T1'(a). Die Funktion T1 approximiert f in der Nähe der Stelle x = a in dem Sinne optimal, dass für den Rest R1(x) = f(x) − T1(x) gilt

\lim_{x \to a} \frac{R_1(x)}{x-a} = 0.

Man kann erwarten, dass man für zweimal differenzierbares f eine noch bessere Näherung erhält, wenn man dazu ein quadratisches Polynom T2(x) verwendet, von dem man verlangt, dass zusätzlich noch T2''(a) = f''(a) gilt. Der Ansatz T2(x) = a0 + a1(xa) + a2(xa)2 führt auf a0 = f(a),a1 = f'(a) und a_2 = \frac{1}{2} f''(a), also T_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2} f''(a)(x-a)^2. Diese Schmiegparabel approximiert in der Tat die gegebene Funktion bei x = a besser, da nun für R2(x) = f(x) − T2(x)

\lim_{x \to a} \frac{R_2(x)}{(x-a)^2} = 0

gilt.

Dieses Vorgehen lässt sich nun leicht auf Polynome n-ten Grades Tn(x) verallgemeinern: Hier soll gelten

T_n(a) = f(a), T_n'(a) = f'(a), \ldots, T_n^{(n)}(a) = f^{(n)}(a).

Es ergibt sich T_n(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n und für Rn(x) = f(x) − Tn(x) gilt:

\lim_{x \to a} \frac{R_n(x)}{(x-a)^n} = 0.

Definition und Satz

Sei I ein reelles Intervall und f: I\to\R eine (n+1)-mal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle a und x aus I:

 f(x) = T_n(x) + R_n(x) \,

mit dem n-ten Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle a

T_n(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k
= f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots
  + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

und dem n-ten Restglied


  R_{n}(x)
  = \int\limits_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \mathrm{d}t
.

In den Formeln stehen  f', f'', \dots, f^{(n)} für die erste, zweite, ..., n-te Ableitung der Funktion f.

Beweis

Der Beweis dieser Formel für das Restglied erfolgt durch Induktion, der Induktionsanfang n = 0 entspricht dabei genau dem Fundamentalsatz der Analysis:

 f(x) = f(a) + \int\limits_a^x f'(t) \mathrm{d}t

Der Induktionsschritt n \rightarrow n+1 erfolgt durch partielle Integration (es ist zu zeigen, dass die Formel stets auch für n + 1 gilt, falls sie für ein n gilt):

T_{n+1}(x) + R_{n+1}(x)\,
= \sum\limits_{k=0}^{n+1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \int\limits_a^x\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+2)}(t)\mathrm{d} t
=T_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} + \left[\frac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(t)\right]_{t=a}^{t=x} - \int\limits_a^x \frac{-(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\mathrm{d} t
= T_n(x) + \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a)-\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a) + R_n(x)
= T_n(x) + R_n(x) = f(x)\,

Restgliedformeln

Es gibt außer der Integralformel noch andere Darstellungen des Restgliedes. Eine ist die Form nach Lagrange:


  R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

für ein ξ zwischen a und x. Bei dieser Darstellung braucht die (n + 1)-te Ableitung von f nicht stetig zu sein.

Sie ist der Spezialfall p = n+1 der Schlömilchschen Restgliedform für die natürliche Zahl p mit 1\le p\le n+1:

R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{p\cdot n!}(x-\xi)^{n+1-p}(x-a)^p

für ein ξ zwischen a und x.

Im Spezialfall p=1 erhalten wir das Cauchysche Restglied:


  R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n}(x-a)

für ein ξ zwischen a und x. Das Cauchysche Restglied folgt auch aus der Integralform des Restgliedes und dem Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Setzt man \Theta = \tfrac{\xi - a}{x-a}, das heißt ξ = a + Θ(xa), so erhält die Lagrangesche Darstellung die Form


  R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(a + \Theta (x - a))}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},

die Schlömilchsche

R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(a + \Theta (x - a))}{p\cdot n!}(1-\Theta)^{n+1-p}(x-a)^{n+1}

und die Cauchysche


  R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(a + \Theta (x - a))}{n!}(1-\Theta)^{n}(x-a)^{n+1},

jeweils für ein Θ zwischen 0 und 1.

Restgliedabschätzung

Liegt das Intervall (ar,a + r) in I und gilt |f^{(n+1)}(x)| \le M_n für alle x \in (a-r,a+r), so gilt für das Restglied die Abschätzung

 |R_n(x)| \le M_n \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!} \le M_n \frac{r^{n+1}}{(n+1)!}.

Insbesondere gilt


  \lim_{x\to a} \frac{R_{n}(x)}{(x-a)^n} = 0

Je näher x bei a liegt, desto besser approximiert also das Taylorpolynom Tn an der Stelle x die Funktion f.

Näherungsformeln für Sinus und Kosinus

Eine Anwendung der Taylorformel sind Näherungsformeln, hier vorgestellt am Beispiel Sinus und Kosinus (wobei das Argument im Bogenmaß angegeben wird).

Für f(x) = sin(x) gilt f'(x) = \cos x,\, f''(x) = -\sin(x),\, f'''(x) = -\cos(x), also lautet das 3. Taylorpolynom der Sinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0

T_{3,\sin}(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2 + \frac{1}{6}f'''(0)x^3 = x - \frac{x^3}{6}.

Aus f(4)(x) = sin(x) ergibt sich für das Restglied von Lagrange R_{3,\sin}(x) = \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!} x^4 = \frac{\sin(\xi)}{24}x^4 mit ξ zwischen 0 und x. Wegen |\sin(\xi)| \leq 1 folgt die Restgliedabschätzung |T_{3,\sin}(x)-\sin(x)| \leq \frac{x^4}{24}.

Liegt x zwischen -\frac{\pi}{4} und \frac{\pi}{4}, dann liegt die relative Abweichung \left|\frac{T_{3,\sin}(x)-\sin(x)}{\sin(x)}\right| bei unter 0,5%.

Die folgende Abbildung zeigt die Graphen einiger Taylorpolynome Tn des Sinus für n =1, 3, 5, 15. Der Graph zu n = ∞ gehört zur Taylorreihe, die mit der Sinusfunktion übereinstimmt.

Approximation des Sinus durch Taylorpolynome

Das vierte Taylorpolynom T4,cos der Kosinusfunktion an der Entwicklungsstelle 0 hat im Horner-Schema diese Gestalt:

 \cos(x) \approx T_{4,\cos}(x) = \left( \frac{x^2}{12} - 1 \right) \cdot \frac{x^2}{2} + 1

Liegt x zwischen -\frac{\pi}{4} und \frac{\pi}{4}, dann liegt die relative Abweichung \left|\frac{T_{4,\cos}(x)-\cos(x)}{\cos(x)}\right| bei unter 0,05%.

Will man mit diesen Näherungsformeln den Sinus oder Kosinus von anderen x-Werten berechnen, sollte man die Reduktionsformeln benutzen, um |x| kleiner als \frac{\pi}{4} zu machen.

Auch für Kotangens und Tangens kann man diese Formeln nutzen, denn es ist

 \tan(x)\sim t(x)=\frac{T_{3,\sin}(x)}{T_{4,\cos}(x)}

mit einer relativen Abweichung von unter 0,5% für \left|x\right| < \frac{\pi}{4}, und cot(x) ~ 1/t(x) mit derselben relativen Abweichung. (Dabei ist t kein Taylorpolynom des Tangens.)

Braucht man eine noch höhere Genauigkeit für seine Näherungsformeln, dann kann man auf höhere Taylorpolynome zurückgreifen, die die Funktionen noch besser approximieren. Warum das so ist, wird im Artikel Taylorreihe erläutert.

Taylor-Formel im Mehrdimensionalen

Für zwei Punkte a, b \in \R^m bezeichne [a, b]=\lbrace a + t(b-a)|t \in [0,1] \rbrace die Verbindungsstrecke von a und b

Gegeben seien eine offene Menge M \subset \mathbb R^m, eine natürliche Zahl k und eine (k + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion f \colon M \to \R. Weiter sei a \in M.

Dann gibt es für alle x \in M mit [a, x] \subset M ein z \in [a,x] so dass

f(x)=\sum\limits_{|j|\leq k}\frac{D^jf(a)}{j!}(x-a)^j+\sum\limits_{|j|=k+1}\frac{D^jf(z)}{j!}(x-a)^j

Hierbei wird die Multiindex-Notation verwendet:

  • j=(j_1, \dots,   j_m )\in \mathbb N_0^m ist ein m-Tupel von natürlichen Zahlen
  • |j|=j_1+\cdots +j_m heißt die Länge von j
  • j!=j_1! \dots j_m!\,\!
  • D^j f = \frac{\partial^j}{\partial x^j}f=\frac{\partial^{|j|}}{\partial x_1^{j_1} \cdots \partial x_m^{j_m}}f
  • (x-a)^j=(x_1-a_1)^{j_1}(x_2-a_2)^{j_2}\cdots (x_m - a_m)^{j_m}


Für die Approximation bis zur Ordnung 2 kann die Taylor-Formel auch wie folgt mit Hilfe der Jacobi-Matrix Jf(a) und der Hesse-Matrix Hf(a) dargestellt werden:

f(x)  \approx f(a) + J_f (a) (x-a) + \frac{1}{2} (x-a)^T  H_f (a) (x-a)

Beispiel einer Taylorentwicklung im Mehrdimensionalen

Es soll die Funktion

f : \R^2 \to \R,~x \mapsto \exp(x_1 - x_2) \cdot \log(1-x_2)

mit x= ( x_1 , x_2) \in \R^2 um den Punkt a = ( a_1, a_2) = ( 1, 0 ) \in \R^2 entwickelt werden.

In diesem Beispiel soll die Funktion bis zum zweiten Grad entwickelt werden. Es gilt also k = 2. Wegen |j| \le k müssen, gemäß der Multiindexschreibweise die Tupel (0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1) und (0,2) berücksichtigt werden.

Die partiellen Ableitungen der Funktion lauten:

\frac{\partial f}{\partial x_1} (a) = \left[ \exp(x_1-x_2) \cdot \log(1-x_2) \right]_{x=(1,0)} = 0
 \frac{\partial f}{\partial x_2} (a) = \left[ -\exp(x_1-x_2) \cdot \left( \log(1-x_2) + \frac{1}{1-x_2} \right) \right]_{x=(1,0)} = -e
 \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} (a) = \left[ \exp(x_1-x_2) \cdot \log(1-x_2) \right]_{x=(1,0)} = 0
 \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} (a) = \left[ -\exp(x_1-x_2) \cdot \left( \log(1-x_2) + \frac{1}{1-x_2} \right) \right]_{x=(1,0)} = -e
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} (a) = \left[ \exp(x_1-x_2) \left( \log(1-x_2) + \frac{2}{1-x_2} - \frac{1}{(1-x_2)^2} \right) \right]_{x=(1,0)} = e

Es folgt mit der mehrdimensionalen Taylor-Formel:


\begin{align}
f(x) \approx & f(a) + \frac{1}{1!} \frac{\partial f}{\partial x_1}(a)~ (x_1-a_1) + \frac{1}{1!}  \frac{\partial f}{\partial x_2} (a) ~(x_2-a_2) \\
& + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} (a)~ (x_1-a_1)^2  + \frac{1}{1! 1!}  \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} (a)~ (x_1-a_1) (x_2-a_2) \\
& + \frac{1}{2!} \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} (a)~(x_2-a_2)^2 \\
& = 0 + 0 - e(x_2-0) + 0 -e(x_1-1)(x_2-0) + \frac{1}{2} e (x_2-0)^2 \\
& = -x_1 x_2 e + \frac{1}{2} x_2^2 e
\end{align}

Benutzt man die alternative Darstellung mit Hilfe der Jacobi- und der Hesse-Matrix, so erhält man:


\begin{align}
f(x) & \approx f(a) + J_f (a) (x-a) + \frac{1}{2} (x-a)^T  H_f (a) (x-a) \\
& = f(a) +  \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f}{\partial x_2} (a)\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1-a_1 \\ x_2-a_2 \end{pmatrix} 
\\ & \qquad
+ \frac{1}{2} \begin{pmatrix}x_1 - a_1  & x_2-a_2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(a) \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(a)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1-a_1 \\ x_2-a_2 \end{pmatrix} \\
& = 0 + \begin{pmatrix}0 & -e\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
x_1 - 1 \\ x_2
\end{pmatrix}
+ \frac{1}{2} \begin{pmatrix}x_1-1 &  x_2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & -e \\ 
-e & e
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 - 1 \\ x_2
\end{pmatrix} \\
& = -x_1 x_2 e + \frac{1}{2} x_2^2 e
\end{align}

mit der Jacobi-Matrix Jf und der Hesse-Matrix Hf.

Literatur

  • Otto Forster: Analysis. Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 8. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0088-0 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
  • Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
  • Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.

Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Taylor (Name) — Taylor ist ein Vor und Familienname. Herkunft und Bedeutung Der Name stammt aus der englischen Sprache und bedeutet übersetzt Schneider. Es handelt sich somit um einen Berufsnamen. Verbreitung Der Name ist im englischsprachigen Raum weit… …   Deutsch Wikipedia

  • Taylor — bezeichnet: einen Familien und Vornamen, siehe Taylor (Name) den Taylor Highway in Alaska Taylor heißen mehrere Orte in den USA: Taylor (Alabama) Taylor (Arizona) Taylor (Arkansas) Taylor (Louisiana) Taylor (Michigan) Taylor (Mississippi) Taylor… …   Deutsch Wikipedia

  • Taylor-Regel — Die Taylor Regel ist nach ihrem Erfinder, dem US Ökonomen John B. Taylor, benannt. Ziel der Regel ist, die Geldpolitik bzw. den von der Zentralbank gesetzten Zinssatz zu bestimmen.[1] John B. Taylor …   Deutsch Wikipedia

  • Taylor-Entwicklung — In der Analysis verwendet man Taylorreihen (auch Taylor Entwicklungen oder Taylor Näherung), um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch eine nach wenigen… …   Deutsch Wikipedia

  • Taylor-Näherung — In der Analysis verwendet man Taylorreihen (auch Taylor Entwicklungen oder Taylor Näherung), um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch eine nach wenigen… …   Deutsch Wikipedia

  • Taylor-Reihe — In der Analysis verwendet man Taylorreihen (auch Taylor Entwicklungen oder Taylor Näherung), um Funktionen in der Umgebung bestimmter Punkte durch Potenzreihen darzustellen. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch eine nach wenigen… …   Deutsch Wikipedia

  • Taylor-Polynom — In der Analysis verwendet man die Taylor Formel, um Funktionen in der Umgebung eines Punktes durch die sogenannten Taylor Polynome anzunähern. Sie ist benannt nach dem Mathematiker Brook Taylor. Eng verwandt mit der Taylor Formel ist die so… …   Deutsch Wikipedia

  • Taylor-Zins — ist ein Fachbegriff aus dem Volkswirtschaftslehre Spezialgebiet Geldpolitik: Der aus der Taylor Regel abgeleitete Zinssatz. Er wird wie folgt bestimmt: i: Taylor Zinssatz i * : langfristiger realer Gleichgewichtszinssatz p: Inflationsrate p * :… …   Deutsch Wikipedia

  • Formel-1-Saison 1966 — Die Formel 1 Saison 1966 war die 17. FIA Formel 1 Weltmeisterschaft. Sie wurde in neun Rennen in der Zeit vom 22. Mai 1966 bis zum 23. Oktober 1966 ausgetragen. Jack Brabham gewann zum dritten Mal nach 1959 und 1960 die Fahrerwertung. Das Team… …   Deutsch Wikipedia

  • Formel-1-Saison 1960 — Die Formel 1 Saison 1960 war die 11. FIA Formel 1 Weltmeisterschaft. Sie wurde über zehn Rennen in der Zeit vom 7. Februar 1960 bis zum 20. November 1960 ausgetragen. Jack Brabham gewann zum zweiten Mal die Fahrerweltmeisterschaft. Cooper wurde… …   Deutsch Wikipedia