Thom-Komplex

Thom-Komplex

Der Thom-Raum oder Thom-Komplex, benannt nach René Thom, ist in der algebraischen Topologie und Differentialtopologie ein einem Vektorbündel zugeordneter topologischer Raum.

Ein k-dimensionales reelles Vektorbündel E über einem parakompakten Raum B sei durch

p:E \to B

gegeben. Dann ist für jeden Punkt b der Basis B die Fiber Fb des Vektorbündels ein k-dimensionaler reeller Vektorraum. Ein zugehöriges Sphären-Bündel Sph(E) → B kann durch separate 1 Punkt-Kompaktifizierung jeder Fiber gebildet werden. Aus dem Bündel Sph(E) erhält man den Thom-Komplex T(E) indem alle neu hinzugefügten Punkte mit dem Punkt \infty identifiziert werden, dem Basispunkt von T(E).

Die Bedeutung dieser Konstruktion ergibt sich aus folgendem Satz aus der Kohomologie der Faserbündel (hier in Z2 Kohomologie formuliert, um Komplikationen aus Orientierbarkeitsfragen zu vermeiden).

B, E, und p seien wie oben definiert. Dann gibt es einen Isomorphismus, den Thom-Isomorphismus

\Phi \colon H^i(B; \mathbf{Z}_2) \to \tilde{H}^{i+k}(T(E); \mathbf{Z}_2),

für alle i größer oder gleich 0, wobei die rechte Seite die reduzierte Kohomologie ist.

Der Satz lässt sich geometrisch so interpretieren: Da E ein Vektorbündel ist, ist es auch eine Retraktion auf den Basisraumis B. Der Satz drückt aus, dass in gewisser Weise auch die Kohomologiegruppen von E zu denen von B äquivalent sind.

Der Satz wurde von René Thom in seiner Dissertation 1952 bewiesen. Er gab auch eine explizite Konstruktion des Thom-Isomorphismus. Dieser bildet das identische Element von H*(B) auf eine Klasse U in der k-ten Kohomologiegruppe des Thom-Raumes ab, die Thom-Klasse. Damit kann man für eine Kohomologieklasse b in der Kohomologie des Basisraums den Isomorphismus über den pullback der Bündel-Projektion und das kohomologische Cup-Produkt berechnen:

\Phi(b) = p^*(b) \smile U.

Thom zeigte in seiner Arbeit von 1954 weiter, dass die Thom-Klasse, die Stiefel-Whitney-Klassen und die Steenrod-Operationen miteinander verbunden sind. Weiter zeigte er, dass die Kobordismengruppen als Homotopiegruppen bestimmter Räume MSO(n) berechnet werden können, die selbst als Thom-Räume konstruiert werden können. Sie bilden im Sinne der Homotopietheorie ein Spektrum MSO, genannt Thom-Spektrum. Das war ein wichtiger Schritt zur modernen stabilen Homotopietheorie.

Falls Steenrod-Operationen definiert werden können, kann man mit ihnen und dem Isomorphismus Stiefel-Whitney-Klassen konstruieren. Nach Definition sind die Steenrod-Operationen (mod 2) natürliche Transformationen

Sq^i \colon H^m(-; \mathbf{Z}_2) \to H^{m+i}(-; \mathbf{Z}_2),

definiert für alle natürlichen Zahlen m. Falls i = m ist, stimmt Sqi mit dem Quadrat des Cup überein. Die iten Stiefel-Whitney-Klassen wi (p) des Vektorbündels p : EB sind dann gegeben durch:

w_i(p) = \Phi^{-1}(Sq^i(\Phi(1))) = \Phi^{-1}(Sq^i(U)).\,

Literatur

  • Dennis Sullivan, René Thom's Work on Geometric Homology and Bordism. Bull. Am. Math. Soc. Bd.41, 2004, S. 341-350, online hier:[1]
  • Rene Thom Espaces fibres en spheres et carres de Steenrod, Ann.Ecole Normale Superieure, Bd.60, 1952, online hier [2]
  • René Thom, Quelques propriétés globales des variétés differentiables. Comm. Math. Helv. Bd. 28 (1954), S. 17-86, online hier:[3]
  • J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, 1999, S. 183-198.

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Thom — bezeichnet: Thom Verlag, deutscher Verlag in Leipzig Thom ist der Familienname folgender Personen: Alexander Thom (1894–1985), schottischer Ingenieurswissenschaftler und Hobbyarchäologe Andreas Thom (Autor) (1884–1943), österreichischer… …   Deutsch Wikipedia

  • Thom-Raum — Der Thom Raum oder Thom Komplex, benannt nach René Thom, ist in der algebraischen Topologie und Differentialtopologie ein einem Vektorbündel zugeordneter topologischer Raum. Ein k dimensionales reelles Vektorbündel E über einem parakompakten Raum …   Deutsch Wikipedia

  • Jayavarman IV. — Jayavarman IV. († 941) war zwischen 928 und 941 König des Khmer Reiches von Angkor. Er wird oft als Usurpator beschrieben, der eine zu Angkor parallel angelegte Hauptstadt Lingapura (heute Koh Ker) errichten ließ. Inhaltsverzeichnis 1 Herkunft… …   Deutsch Wikipedia

  • Atiyah-Singer-Indextheorem — Der Atiyah Singer Indexsatz (Atiyah–Singer index theorem) besagt, dass für einen elliptischen Differentialoperator auf einer kompakten Mannigfaltigkeit der analytische Index (eng verbunden mit der Dimension des Lösungsraums) gleich dem… …   Deutsch Wikipedia

  • Indextheorie — Der Atiyah Singer Indexsatz (Atiyah–Singer index theorem) besagt, dass für einen elliptischen Differentialoperator auf einer kompakten Mannigfaltigkeit der analytische Index (eng verbunden mit der Dimension des Lösungsraums) gleich dem… …   Deutsch Wikipedia

  • Preah Khan — Der Ahnentempel Preah Khan, früher Zentrum einer Kloster und Universitätsstadt Die buddhistische Tempelanlage Preah Khan („Heiliges Schwert“), in der kambodschanischen Provinz Siem Reap gelegen, ist vermutlich das Relikt einer provisorischen… …   Deutsch Wikipedia

  • Atiyah-Singer-Indexsatz — Der Atiyah Singer Indexsatz ist die zentrale Aussage aus der globalen Analysis, einem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie. Er besagt, dass für einen elliptischen Differentialoperator auf einer kompakten Mannigfaltigkeit der… …   Deutsch Wikipedia

  • Eilenberg-Steenrod-Axiome — Der Begriff der Homologietheorie stammt aus der algebraischen Topologie und charakterisiert axiomatisch die Weise, wie beispielsweise die Singuläre Homologie oder die Bordismustheorien topologischen Räumen abelsche Gruppen zuordnen… …   Deutsch Wikipedia

  • Banteay Chhmar — 14.071111111111103.10916666667 Koordinaten: 14° 4′ N, 103° 7′ O …   Deutsch Wikipedia

  • Oscar-Verleihung 2009 — Der rote Teppich am Abend der Oscarverleihung 2009 Nominiert als Beste Hauptdarsteller: Angelina Jolie und …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”