Tobit-Modell

Tobit-Modell

Das Tobit-Modell ist ein auf James Tobin zurückgehendes ökonometrisches Modell zur Analyse beschränkt abhängiger Variablen (censored variables). Da die abhängige Variable nur auf einem bestimmten Wertebereich existiert, sind normale Regressionskoeffizienten nicht die bestmöglichen Schätzer, sodass die Schätzfunktion korrigiert werden muss. Diese Korrektur ist im Tobit-Modell implementiert.

Inhaltsverzeichnis

Modell

Mit dem Tobit-Modell wird der Zusammenhang zwischen einer nicht-negativen abhängigen Variable yi und einer unabhängigen Variablen (oder einem Vektor) xi. beschrieben. Das Modell geht davon aus, dass es eine latente (d.h. nicht beobachtbare) Variable y_i^* gibt. Diese Variable ist linear abhängig von xi über einen Parameter (oder Vektor) β, der den Zusammenhang zwischen der unabhängigen Variable (oder dem Vector) xi und der latenten Variablen y_i^* bestimmt (wie bei einer linearen Regression).

Darüber hinaus gibt es einen normalverteilten Fehlerterm ui, um Zufallseinflüsse auf diesen Zusammenhang zu erfassen.

Die beobachtbare Variable yi ist per Definition gleich der latenten Variable, wann immer die latente Variable größer als Null ist. Ansonsten ist sie Null.

 y_i = \begin{cases} 
    y_i^* & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* >0 \\ 
    0     & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* \leq 0
\end{cases}

wobei y_i^* eine latente Variable darstellt:

 y_i^* = 
       \beta x_i + u_i, u_i \sim N(0,\sigma^2)

Parameterschätzung

Falls der Zusammenhangsparameter β über eine herkömmliche Regression der beobachteten Variable yi auf xi geschätzt wird, ist der resultierende ordinary least squares estimator inkonsistent. Amemiya (1973) hat bewiesen, dass der Wahrscheinlichkeitsschätzer, der von Tobin für dieses Modell vorgeschlagen wurde, konsistent ist. .

Verallgemeinerung

Das Tobit model ist ein Spezialfall eines censored regression model, weil die latente Variable y_i^* nicht immer beobachtet werden kann, während die unabhängige Variable xi beobachtbar ist. Eine verbreitete Variante des Tobit Modells besteht darin, eine Variable auf einen von Null verschiedenen Wert yL zu beschränken:

 y_i = \begin{cases} 
    y_i^* & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* >y_L \\ 
    0     & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* \leq y_L.
\end{cases}

Ein anderes Beispiel betrifft die Beschränkung auf Werte über yU.

 y_i = \begin{cases} 
    y_i^* & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* <y_U \\ 
    0     & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* \geq y_U.
\end{cases}

Ein weiteres Modell resultiert, wenn yi gleichzeitig von oben und von unten beschränkt wird.

 y_i = \begin{cases} 
    y_i^* & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_L<y_i^* <y_U \\ 
    0     & \mathrm{f\ddot{u}r} \; y_i^* \leq y_L \quad \text{oder} \quad y_i^* \geq y_U.
\end{cases}


Solche Verallgemeinerungen werden typischerweise ebenfalls als Tobit Modelle bezeichnet. Je nach dem, wo und wann die Beschränkung erfolgt, resultieren weitere Varianten des Tobit-Modells. Amemiya (1985) klassifiziert diese Varianten in fünf Kategorien (Tobit type I - Tobit type V), wobei Tobit type I für das oben beschriebene Modell steht. Schnedler (2005) liefert eine allgemeine Formel, um konsistente Wahrscheinlichkeitsschätzer für diese und andere Varianten des Tobit-Modells zu erzielen.

Literatur

  • Amemiya, Takeshi (1973). „Regression analysis when the dependent variable is truncated normal“. Econometrica 41 (6), 997–1016.
  • Amemiya, Takeshi (1985). „Advanced Econometrics“. Basil Blackwell. Oxford.
  • Schnedler, Wendelin (2005). „Likelihood estimation for censored random vectors“. Econometric Reviews 24 (2),195–217.
  • Tobin, James (1958). „Estimation for relationships with limited dependent variables“. Econometrica 26 (1), 24–36.

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