Torricellis Theorem


Torricellis Theorem
Grafische Darstellung von Torricellis Theorem

Ausflussgeschwindigkeit nennt man die Geschwindigkeit, mit welcher ein flüssiger oder gasförmiger Körper von sehr niedriger Viskosität (zum Beispiel Wasser) aus einer Öffnung des ihn enthaltenden Gefäßes ausströmt. Da während des Ausströmens eines bestimmten Flüssigkeitsquantums stets eine gleichgroße Flüssigkeitsmenge von der Oberfläche bis zum Niveau der Öffnung herabsinken muss, so ist die Ausflussgeschwindigkeit gleich der Geschwindigkeit, welche ein Körper erlangen würde, wenn er vom Flüssigkeitsspiegel bis zur Ausflussöffnung herabfiele (Torricellis Theorem, siehe auch Bernoulli-Gleichung).

Bezeichnet man daher mit v die Ausflussgeschwindigkeit,
mit h die vertikale Tiefe der Öffnung unter der Flüssigkeitsoberfläche (Druckhöhe)
und mit g die Beschleunigung der Schwere (g = 9{,}81\, \mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}), so ist v =\sqrt{2gh}

Sie hängt demnach nur von der Druckhöhe, nicht aber von der Natur der Flüssigkeit ab, so dass z. B. bei gleicher Druckhöhe Wasser und Quecksilber gleichschnell ausfließen.

Da der Druck in einer Flüssigkeit nach allen Richtungen hin gleich stark wirkt, so ist es für die Ausflussgeschwindigkeit gleichgültig, ob sich die Öffnung im Boden oder in einer Seitenwand des Gefäßes befindet, ob der ausfließende Strahl nach abwärts, nach seitwärts oder nach aufwärts (Springbrunnen) gerichtet ist.

Wäre der ausfließende Strahl zylindrisch, so könnte man das pro Zeiteinheit ausgeflossene Flüssigkeitsvolumen leicht berechnen, indem man die Ausflussgeschwindigkeit mit der Fläche der Öffnung multipliziert. Selbstverständlich ist der Strahl im Bereich der Ausflussöffnung zylindrisch, wenn die Ausflussöffnung zylindrisch ist. Jedoch gilt die Bernoullische Energiegleichung nur in einer stationären Strömung eines reibungsfreien, inkompressiblen Fluids. Daher ist das Ausflussvolumen für reale Flüssigkeiten mit einem Korrekturfaktor zu berechnen. In einiger Entfernung von der Ausflussöffnung ist der Strahl nicht mehr zylindrisch, sondern er zieht sich zusammen, so dass sein Querschnitt in geringer Entfernung von der Öffnung nur noch etwa 61 Prozent von demjenigen der Öffnung beträgt. Um für reale Flüssigkeiten die Ausflussmenge zu erhalten, muss man daher die oben berechnete "theoretische Ausflussmenge" noch mit 0,6 multiplizieren. Diese Zusammenziehung des Strahls (contractio venae) rührt hauptsächlich davon her, dass die Flüssigkeitsteilchen im Innern des Gefäßes von allen Seiten her konvergierend zur Öffnung strömen und daher an den Rändern der Abflussöffnung mit einer seitlich gerichteten Geschwindigkeit ankommen.

Alles Bisherige gilt nur für Öffnungen in dünner Gefäßwand. Durch kurze zylindrische oder nach außen konisch erweiterte Ansatzröhren wird, wenn die Flüssigkeit an den Wänden der Röhre adhäriert und diese ganz ausfüllt, die Ausflussmenge vermehrt, die Ausflussgeschwindigkeit dagegen vermindert - auf etwa die Hälfte. Öffnungen in dicker Wand wirken wie Ansatzröhren.

Für die Ausflussgeschwindigkeit idealer Gase gilt ebenfalls das Torricellische Gesetz, wenn man unter der Druckhöhe h die Höhe einer Gassäule von der Dichte des ausströmenden Gases versteht. Bezeichnet man mit h' den manometrisch als Höhe einer Quecksilbersäule gemessenen Überdruck des eingeschlossenen Gases, mit s' das spezifische Gewicht des Quecksilbers, mit s dasjenige des Gases (beide auf Wasser als Einheit bezogen), so verhält sich die Druckhöhe h, welche in Rechnung zu bringen ist, zu der Quecksilbersäule h' wie s' zu s; es ist also

h = \frac{h's'}{s}

und

v = \sqrt{\frac{2gh's'}{s}}

woraus sich das von Thomas Graham aufgestellte Gesetz ergibt, dass die Ausflussgeschwindigkeiten verschiedener Gase bei gleichem Druck den Quadratwurzeln aus ihren spezifischen Gewichten umgekehrt proportional sind. Da z. B. Wasserstoffgas 16 mal weniger dicht ist als Sauerstoffgas, so strömt jenes unter gleichem Druck viermal schneller aus als dieses.

Robert Wilhelm Bunsen hat hieraus eine Methode zur Bestimmung der spezifischen Gewichte der Gase abgeleitet.


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