Transformation (Geometrie)

In der Geometrie versteht man unter Transformationen eine starre Bewegung im Raum, beziehungsweise die Vorschrift, wie sich Objekte im Raum bewegen können.

Ein System ist symmetrisch, wenn eine vollzogene Transformation das System genau so ausschauen lässt, wie es vor der Transformation ausgesehen hat, das heißt, wenn keine äußeren (sichtbaren) Veränderungen auftreten. Wird allerdings ein unsymmetrisches Objekt transformiert, so ändert sich seine äußerliche Erscheinungsform. Die Anzahl der Symmetrieachsen eines Systems gibt an, wie oft hintereinander eine oder mehrere Transformationen an demselben System durchgeführt werden können, das System nach der Transformation aber immer noch genauso ausschaut wie vor der Transformation. Je mehr Symmetrien ein Objekt besitzt, desto größer ist die Anzahl an möglichen Transformationen, die hintereinander ausgeführt werden können. Wird ein geometrisches System einer Transformation unterzogen (kurz: transformiert), so ändert sich im Zuge der Transformation die räumliche Position des Systems, es ändert sich die Lage der einzelnen Punkte des Systems relativ zur Lage derselben Punkte vor der Transformation. Wird das System bei seiner Transformation beobachtet, so können nach der Transformation eventuell Unterschiede in der Erscheinung sowie in der räumlichen Position des Systems von einem außenstehenden Beobachter festgestellt werden (sollte sich der Beobachter in dem transformierten System befinden, könnte es ihm eventuell schwer fallen, die Transformation zu erkennen).

Bei der Transformation eines Systems kommt es nicht darauf an, wie die Transformation zustande kam oder wie sie durchgeführt wurde, sondern es kommt nur auf die Lage und räumliche Position (kurz: die Veränderung) des Systems selbst nach der Transformation relativ zu dem (räumliche) Zustand des Systems vor der Transformation an. Das System selbst bleibt aber weitgehend unverändert. Eine Transformation hat auch keine Auswirkungen auf die physikalischen Eigenschaften des Systems. Ebenfalls unverändert muss die Anordnung einzelner Punkte innerhalb des Systems bleiben. Was sich aber ändern kann, ist die Lage im Raum beziehungsweise die Lage des Systems relativ zu einem anderen System.

Man kann die Transformationen nun in mehrere Gruppen einteilen:

1. Translation oder Verschiebung

Von einer Translation spricht man, wenn sich das gesamte System, also jeder einzelne Punkt, der in diesem System enthalten ist, in dieselbe Richtung bewegt. Ein System schaut nach der Translation wieder genau so aus, wie es vor der Translation ausgesehen hat, egal wie viele Symmetrien (Symmetrieachsen) das System besitzt und egal wie oft die Translation hintereinander durchgeführt wurde. Die Translation ist eine symmetrieunabhängige Transformation. Bei ihr ändert sich ausschließlich die räumliche Position des Systems. Translationen erfolgen immer geradlinig und das System bewegt sich um keine Achse.

2. Rotation oder Drehung

Bei der Rotation bewegt (dreht) sich das System um eine Rotationsachse. Die Lage der Rotationsachse im Raum ist unabhängig von dem Aussehen des Objektes nach der vollzogenen Rotation. Bei einer Rotation um 360°, also eine volle Umdrehung, befindet sich nach der vollzogenen Rotation wieder jeder Punkt des Systems auf derselben Stelle, wo er sich vorher befunden hat. Wird eine Rotation um eine anderen Winkel (kleiner oder größer als 360°) durchgeführt, ändert sich die Position der Punkte innerhalb des Systems nach der Transformation relativ zu der Position der Punkte vor der Transformation.

3. Reflexion oder Spiegelung

Bei der Reflexion wird das System entlang einer Spiegelachse gespiegelt (reflektiert). Die Reflexion kann sowohl vor einem realen Spiegel als auch vor einer mathematisch- geometrischen Spiegelachse stattfinden. Wird ein System reflektiert, so ändert sich die Lage der Punkte relativ zu den anderen Punkten im System, nicht aber relativ zu der Lage der Punkte zur Spiegelachse. Die Entfernung eines Punktes zur Spiegelachse bleibt immer dieselbe. Es bleiben auch die Punkte untereinander, also innerhalb des Systems gleich weit voneinander entfernt, jedoch werden die Richtungen (Richtungsvektoren) der Punkte umgekehrt (gespiegelt). Die Seiten, die parallel zu der Spiegelachse liegen, werden un ihre räumlichen Lage umgekehrt; Vektoren, beziehungsweise Seiten, die parallel zu den Spiegelachsen liegen, werden in ihrer Richtung nicht verändert, genauso wenig wie in ihrer Entfernung zu der Spielgelachse. Die Symmetrieachsen (Spiegelachsen) eine Systems geben die Achsen durch das Objekt selbst an, bei denen das Objekt nach der Reflexion genau dem Objekt vor der Reflexion entspricht, also als wenn sich die Lage der einzelnen Punkte im System nicht zu ändern scheint.

4. Permutation

Permutation wird die Möglichkeit genannt, Punkte umzuordnen oder die Beziehung der Punkte zueinander innerhalb eines vorher definierten Systems zu ändern, ohne eine vorher aufgestellte Bedingung nicht zu brechen oder zu umgehen; kurz also die Möglichen Anordnungen von Punkten (die Veränderung der Lage der Punkte zueinander) innerhalb eines Systems ohne eine Bedingung (meistens bezogen auf das Aussehen des Systems) zu verändern.

Beispiel: Wie kann man eine beliebige Anzahl von Punkten umordnen, ohne die Bedingung von "auf einer Geraden liegend" zu verletzen?

• Die Einzige Möglichkeit hier wäre die Umordnung (vertauschen) der Punkte untereinander.

5. Identitätstransformation

Die Identitätstransformation ist die einfachste aller Transformationen. Sie ist ebenfalls, wie die Translation, symmetrieunabhängig. Sie besagt, dass alles im System so bleibt, wie es ist. Die Lage des Systems im Raum sowie die Lage der einzelnen Punkte im System zueinander dürfen hierbei nicht verändert werden. Das System ist nach der Transformation ident mit dem System vor der Transformation.

Literatur

• Ian Stewart: Flacherland; Copyright 2001 by Joat Enterprise
  • Deutsche Erstausgabe Copyright 2003 by C.H.Beck, München