Ultrametrik

In der Analysis bezeichnet man als Ultrametrik eine Metrik $\text{d}\colon S\times S\to \mathbb{R}$ auf einer Menge S, die außer den Metrik-Axiomen

1. $\text{d}\left(a,b\right) \geq 0$
2. $\text{d}\left(a,b\right) = 0 \Leftrightarrow a = b$
3. $\text{d}\left(a,b\right) = \text{d}(b,a)$ (Symmetrie)
4. $\text{d}\left(a,b\right) \leq \text{d}(a,c) + \text{d}(c,b)$ (Dreiecksungleichung)

für alle $a, b, c \in S$ noch die verschärfte Dreiecksungleichung

$\text{d}(a,b) \leq \max \{\text{d}(a,c),\text{d}(c,b)\}$

erfüllt. Einen metrischen Raum mit einer Ultrametrik bezeichnet man als ultrametrischen Raum.

Beispiele

Die diskrete Metrik (d(a,b) = 1 für a ungleich b, sonst 0) auf einer nichtleeren Menge ist eine Ultrametrik.

Die p-adische Metrik auf Q und die auf dem Körper Q_p der p-adischen Zahlen ist eine Ultrametrik.

Ist S eine beliebige nichtleere Menge, dann kann man die Menge S^N aller Folgen in S zu einem metrischen Raum machen, indem man den Abstand zweier verschiedener Folgen (x_n),(y_n) auf den Wert 1 / N setzt, wobei N der kleinste Index ist, für den x_N verschieden ist von y_N, und den Abstand einer Folge zu sich selbst auf 0 setzt. Dieser metrische Raum ist dann vollständig und ultrametrisch.

Eigenschaften

Jedes Dreieck ABC aus Punkten eines ultrametrischen Raums S ist gleichseitig oder gleichschenklig mit kürzerer Basis.

Beweis: Sind a,b,c die Abstände der drei Eckpunkte (a=d(B,C) usw.), dann ist entweder a=b=c (ABC gleichseitig) oder eine Seite ist kürzer als eine andere, ohne Einschränkung nehmen wir an, dass a<b. Dann kann man aus der verschärften Dreiecksungleichung folgern, dass c=b sein muss (es ist a < b ≤ max{a,c}, also b ≤ c, und c ≤ max{a,b}=b), also ist ABC dann gleichschenklig mit kürzerer Basis BC.

Jede Kugel ist sowohl abgeschlossen als auch offen. (Schikhof, 1984)

Jeder Punkt in einer (offenen oder abgeschlossenen) Kugel ist Mittelpunkt dieser Kugel, und der Durchmesser ist kleiner oder gleich ihrem Radius. (Marc Krasner, 1944)

Zwei Kugeln sind entweder elementfremd (disjunkt), oder eine ist ganz in der anderen enthalten.

Eine Folge (a_n) in S, in der die Abstände direkt aufeinander folgender Glieder gegen 0 konvergieren, ist eine Cauchy-Folge,

denn für jedes e>0 gibt es dann ein N mit d(a_n,a_n+1) < e für alle n ≥ N, und somit gilt wegen der Ultrametrik für alle m > n ≥ N: d(a_n,a_m) ≤ max{d(a_n,a_n+1), ..., d(a_m-1,a_m)} < e.

In einer abelschen topologischen Gruppe, deren Topologie von einer translationsinvarianten Ultrametrik erzeugt wird (z.B. einem ultrametrischen Körper wie Q_p) ist eine unendliche Reihe genau dann eine Cauchy-Folge, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. Ist die Gruppe vollständig, dann konvergiert die Reihe in diesem Fall.

Anwendung

Anwendungen gibt es beispielsweise in der Theorie der sog. Spingläser in der Physik, und zwar in der Replika-Theorie von Giorgio Parisi.