Umgebungsbasis


Umgebungsbasis

Eine Subbasis in einem topologischen Raum ist ein (möglichst klein gewähltes) System von offenen Mengen, das die Topologie eindeutig beschreibt. Ist dieses System (im unten definierten Sinne) auch noch abgeschlossen bezüglich der Schnittmengenbildung, dann spricht man von einer Basis des Topologischen Raums. Eine lokale Variante ist der Begriff Umgebungsbasis, siehe dazu auch Umgebung (Mathematik).

Topologische Räume, die abzählbare Umgebungsbasen bzw. Basen haben, erfüllen das erste bzw. zweite Abzählbarkeitsaxiom. Sie können im topologischen Sinn als „klein“ gelten.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Basis einer Topologie

  • Ein System B von Teilmengen eines topologischen Raumes X heißt Basis der Topologie, wenn
  1. jede Menge aus B offen ist und
  2. jede offene Menge des Raumes sich als Vereinigung von Mengen aus B darstellen lässt.
  • Umgekehrt kann man ein System B von Teilmengen einer Menge X mit den Eigenschaften
  1. Die Vereinigung aller Mengen aus B ist die Gesamtmenge X.
  2. Jede nichtleere Schnittmenge von zwei Mengen aus B lässt sich auch als Vereinigungsmenge von Mengen aus B darstellen.
zur Definition einer Topologie (die durch B definierte Topologie) auf X verwenden:
Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie sich als Vereinigungmenge von Mengen aus B darstellen lässt.

Subbasis einer Topologie

  • Ein System S von Teilmengen eines topologischen Raumes X heißt Subbasis der Topologie, wenn
  1. jede Menge aus S offen ist und
  2. keine gröbere Topologie auf X existiert, in der jede Menge aus S offen ist.
  • Umgekehrt kann jedes beliebige System S von Teilmengen einer Menge X zur Definition einer Topologie (der durch S definierten Topologie) auf X verwendet werden:
Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie sich als Vereinigungsmenge von endlichen Durchschnitten aus S darstellen lässt.

Umgebungsbasis

Ein System B(x) von Umgebungen von x heißt Umgebungsbasis von x, wenn jede offene Umgebung von x eine Umgebung aus B(x) als Teilmenge enthält.

Eigenschaften

  • Ist S eine Subbasis, dann bildet die Menge aller endlichen Durchschnitte von Mengen aus S eine Basis.
  • Jede Basis ist eine Subbasis, der Basisbegriff verschärft also den Begriff Subbasis.
  • Die Menge aller offenen Mengen bildet eine Basis jedes topologischen Raums. In der Regel ist man zwar an möglichst kleinen Basen interessiert, es gibt aber im allgemeinen keine brauchbare formalisierte Beschreibung für eine „minimale“ Basis.
  • Ist für jeden Punkt x des Raumes X eine Umgebungsbasis B(x) gegeben, so bildet die Vereinigung all dieser Umgebungsbasen eine Basis.
  • Eine Verschärfung hiervon: Ist D eine dichte Teilmenge des Raumes X, so bildet bereits das System der Umgebungsbasen zu den Elementen von D eine Basis des Raums.

Beispiele

  • Die leere Menge B={} erzeugt als Basis die indiskrete Topologie auf X, in ihr ist nur die leere Menge und X offen. Dazu ist zu beachten, dass auch leere Vereinigung (ergibt die leere Menge) und Durchschnitt (ergibt X) zulässig sind.
  • Das System der einpunktigen Mengen {x} eines Raumes X definiert als Basis die diskrete Topologie auf X. In ihr sind alle Mengen offen.
  • Ist {x} offen, dann ist {{x}} Umgebungsbasis von x.
  • In einem metrischen Raum bildet die Menge der ε-Umgebungen eines Punktes x eine Umgebungsbasis von x, die Menge aller ε-Kugeln eine Basis der durch die Metrik induzierten Topologie.

Anwendungen

Lokale Definition der Stetigkeit

Der Begriff der Umgebungsbasis erlaubt eine bequeme Charakterisierung der Stetigkeit: Sind X und Y topologische Räume und ist f eine Abbildung von X nach Y, dann ist f genau dann stetig im Punkt x aus X, wenn für Umgebungsbasen B(x) in X bzw. B(f(x)) in Y gilt:

Zu jeder Basismenge V aus B(f(x)) gibt es eine Basismenge U aus B(x), die von f ganz in V abgebildet wird.

In dem Spezialfall, dass X und Y metrische Räume sind und als Umgebungsbasen die ε-Umgebungen gewählt werden, ist dies die „ε-δ-Definition der Stetigkeit“, die in der elementaren Analysis gegenüber der allgemeineren topologischen Definition bevorzugt wird.

Initialtopologie

Der Begriff der Subbasis erlaubt eine konstruktive Definition von Initialtopologien.

Literatur

  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-09799-6, S. 23–24

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