Ungerade Funktion

Eine Funktion f mit Definitionsbereich D heißt in der Mathematik gerade Funktion, wenn $f(x) = f(-x)\,$ gilt. Ist die Funktion reell handelt es sich um Achsensymmetrie zur y-Achse.

f(x) = x² - Beispiel für eine gerade Funktion: Die Normalparabel

Beispiele gerader Funktionen sind

• $|x|\,, x^2\,, \cos\,x, \mathrm{cosh}\,x$

Gerade Funktionen können keine Bijektion darstellen.

Eine Funktion f mit Definitionsbereich D heißt ungerade Funktion, wenn $f(-x) = -f(x)\,$ gilt. Im reellen Fall handelt es sich um die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung.

Beispiele ungerader Funktionen sind

• $x\,, x^3\,$

und andere Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten

• $\sin\, x, \frac{1}{x}, \mathrm{sinh}\,x$

f(x) = x³ - Beispiel für eine ungerade Funktion

Ist f eine ungerade Funktion, und ist $0\in D$, so gilt f(0) = 0. Die Funktion f(x) = 1 / x ist ein Beispiel einer ungeraden Funktion, die für x = 0 nicht definiert ist.

Die einzige Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, ist die Funktion, die konstant 0 ist.

Eigenschaften gerader und ungerader Funktionen

• Die Summe zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
• Die Summe zweier ungerader Funktionen ist wieder ungerade.
• Das Produkt zweier gerader Funktionen ist wieder gerade.
• Das Produkt zweier ungerader Funktionen ist gerade.
• Das Produkt einer geraden und einer ungeraden Funktion ist ungerade.
• Die Komposition einer beliebigen Funktion mit einer geraden Funktion ist gerade.
• Die Komposition einer geraden Funktion mit einer ungeraden Funktion ist gerade.
• Die Komposition einer ungeraden Funktion mit einer ungeraden Funktion ist ungerade.
• Die Ableitung einer geraden Funktion ist ungerade, die Ableitung einer ungeraden Funktion ist gerade.
• Die Taylor-Reihe mit dem Entwicklungspunkt x = 0 einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur gerade (ungerade) Potenzen.
• Die Fourier-Reihe einer geraden (ungeraden) Funktion enthält nur Kosinus- (Sinus-) Terme.
• Eine beliebige Funktion lässt sich als Summe einer geraden und ungeraden Funktion wie folgt schreiben:

$f(x)=f_\mathrm{g}(x)+f_\mathrm{u}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}$, mit

$f_\mathrm{g}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ dem geraden Anteil der Funktion f(x) und

$f_\mathrm{u}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ dem ungeraden Anteil der Funktion f(x).

• Berechnet man das bestimmte Integral einer ungeraden Funktion, wobei die Grenzen symmetrisch um Null liegen, ergibt sich Null: $\int_{-a}^{a} f(x) dx=0$