Untermannigfaltigkeit


Untermannigfaltigkeit

In der Differentialgeometrie beziehungsweise Differentialtopologie ist eine Untermannigfaltigkeit eine Teilmenge einer Mannigfaltigkeit, die mit den Karten der Mannigfaltigkeit verträglich ist.

Eingebettete Untermannigfaltigkeit

Eine Teilmenge N einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M ist genau dann eine k-dimensionale eingebettete Untermannigfaltigkeit, wenn für jeden Punkt p \in N eine Karte (φ,U) von M existiert, so dass die Gleichung

\varphi(N\cap U) = (\mathbb{R}^k \times 0) \cap \varphi(U)

erfüllt ist. Das Zeichen 0 \in \R^{n-k} bezeichnet hier den (n-k)-Tupel (0,...,0). Jede eingebettete Untermannigfaltigkeit ist mit den gerade angegebenen Karten und der induzierten Unterraumtopologie wieder eine Mannigfaltigkeit.

Standardbeispiele für Untermannigfaltigkeiten sind die offenen Mengen des Rn (gleichdimensional) oder der Äquator einer Sphäre (niederdimensional). Allgemein ist das Urbild eines regulären Wertes einer Funktion f: M → X eine Untermannigfaltigkeit von M, siehe Satz vom regulären Wert.

Literatur

  • Klaus Jänich: Vektoranalysis. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1993, ISBN 3-540-57142-6 (Springer-Lehrbuch).
  • R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. 2nd Edition. Springer-Verlag, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7 (Applied Mathematical Sciences 75).

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