Verallgemeinerte Poisson-Verteilung

Die verallgemeinerte Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die vor allem in der Versicherungsmathematik verwendet wird. Im Vergleich zur Poisson-Verteilung besitzt sie zwei Parameter, ist dadurch wesentlich flexibler als diese.

Definition

Eine diskrete Zufallsvariable X_n unterliegt der Verallgemeinerten Poisson-Verteilung mit den Parametern λ (Ereignisrate) und θ, wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

$P(X_n=k)= \frac{\theta(\theta+k\lambda)^{k-1}\; \mathrm{e}^{-\theta-k\lambda}}{k!}$

besitzt.

Eigenschaften

• Die Varianz ist immer größer als der Erwartungswert. Diese Eigenschaft nennt man Overdispersion.
• Für die verallgemeinerte Poisson-Verteilung sind Rekursionen für die Summenverteilung bekannt, wie man sie auch aus der Panjer-Verteilung kennt.
• Für viele Anwendungsfälle ist die implizite Definition der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ausreichend.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu

$\operatorname{E}(X_n) = \frac{\theta}{1-\lambda}$.

Varianz

Für die Varianz erhält man

$\operatorname{Var}(X_n) = \frac{\theta}{(1-\lambda)^{3}}$.

Standardabweichung

Aus der Varianz erhält man wie üblich die Standardabweichung

$\sigma = \sqrt{\frac{\theta}{(1-\lambda)^{3}}}$.

Variationskoeffizient

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

$\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{1}{\theta(1-\lambda)}}$.

Schiefe

Die Schiefe lässt sich darstellen als

$\operatorname{v}(X) = \frac{1-2\lambda}{\sqrt{\theta(1-\lambda)}}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

ϕ_X(s) = e^{θ(u − 1)} mit u = e^ise^{λ(u − 1)}.

Erzeugende Funktion

Für die erzeugende Funktion erhält man

g_X(s) = e^{θ(u − 1)} mit u = ze^{λ(u − 1)}.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ist

m_X(s) = e^{θ(u − 1)} mit u = e^se^{λ(u − 1)}.