Vladimir Arnold


Vladimir Arnold
Wladimir Igorewitsch Arnold

Wladimir Igorewitsch Arnold (russisch Влади́мир И́горевич Арно́льд; * 12. Juni 1937 in Odessa, UdSSR) ist ein russischer Mathematiker. Er gilt weltweit als einer der angesehensten Mathematiker.

Inhaltsverzeichnis

Leben und Werk

Arnold studierte ab 1954 bei Andrei Nikolajewitsch Kolmogoroff in Moskau und war 1961 bis 1984 Professor an der Staatlichen Universität Moskau, seit 1986 am Steklow-Institut für Mathematik in Moskau und gleichzeitig seit 1993 an der Universität 9 von Paris.

Als (Vordiplom-)Student Kolmogoroffs löste er 1956 das 13. Hilbert-Problem: Ist jede stetige Funktion von drei Variablen durch stetige Funktionen von zwei Variablen darstellbar? Für vier oder mehr Variable hatte Kolmogoroff schon die Reduzierbarkeit auf zwei Variable gezeigt. Arnold bewies dies für den Fall von drei Variablen, ebenfalls mit Kolmogoroffs Baum-Konstruktion (daraus wurde 1961 seine Dissertation). In seinen Vorlesungen in Toronto 1997 bezeichnet er die Grundidee seiner Lösung beinahe als trivial, um dann zu zeigen, dass fast alle seine späteren Arbeiten ihre Wurzeln in Erweiterungen dieser Idee hätten. Die korrekte Formulierung von Hilberts Problem ist für Arnold die Frage nach einer solchen Reduzierbarkeit für algebraische Funktionen und nach wie vor offen.

Nach seiner ersten Veröffentlichung stellte ihm Kolmogoroff die Wahl seines Dissertationsthemas frei, und er untersuchte Diffeomorphismen ovaler Kurven (in der Art von den später von Sinai untersuchten Billards). Henri Poincaré hatte schon solche bei Kreis und Ellipse untersucht, wo diese Abbildung nach Poincaré im Allgemeinen (je nach Wahl des Rotationswinkels) ergodisch (chaotisch) ist, bei rationalen Winkeln periodisch. Zu Arnolds Enttäuschung stellte sich das Gebiet seiner Diplomarbeit aber als aktives Arbeitsgebiet Kolmogoroffs heraus, und aus ihrer Zusammenarbeit entstand das KAM-Theorem (Kolmogoroff, Arnold, Jürgen Moser) über dynamische Systeme, speziell die Himmelsmechanik. Die qualitative Theorie dynamischer Systeme (Differentialgleichungen) blieb auch weiterhin ein Schwerpunkt von Arnolds Arbeit. Er schrieb darüber bekannte Lehrbücher, so seine Mathematischen Methoden der klassischen Mechanik, die durch ihren informellen, Zusammenhänge und Anwendungen suchenden Stil bekannt sind und unnötige Abstraktionen vermeiden. 1961 kam es in Moskau zu ersten Diskussionen mit Stephen Smale, dessen Theorie strukturell stabiler Systeme damals gerade entstand.

In den 1950er Jahren untersuchte Arnold nach eigenen Worten[1] auch Anwendungen, die später in der Chaostheorie bekannt wurden, so in einer Arbeit über Herzrhythmen, die der für Anwendungen der Mathematik in der Biologie interessierte Mathematiker Israel Gelfand anregte. 1964 entdeckte er die nach ihm benannte Arnold-Diffusion. Diese ist nach Arnold (s.Fussnote 1) sein wichtigster Beitrag zur „KAM-Theorie“ und beschreibt die allgemeine Ursache der Instabilität in (deterministischen) dynamischen Systemen mit mehreren Freiheitsgraden.[2]

Arnold beschäftigte sich ab 1963 auch mit den viel komplizierteren dynamischen Systemen der Hydrodynamik, ebenfalls ein Arbeitsgebiet Kolmogoroffs. Arnold formulierte seine Untersuchung der Navier-Stokes- und Euler-Gleichungen als „Differentialgeometrie unendlich dimensionaler Liegruppen“, deren Krümmung er bestimmte. Ein Nebenprodukt war nach Arnold der Beweis, dass Wettervorhersagen über länger als zwei Wochen unmöglich sind (siehe Fussnote 1). Gleichzeitig versuchte er die Existenz eines – später sogenannten – „strange attractors“ nachzuweisen, die damaligen Untersuchungen waren aber durch das Fehlen ausreichender Computerkapazitäten sehr behindert.

Mitte der 1960er Jahre begann er sich für Singularitätentheorie zu interessieren, später eines seiner Hauptarbeitsgebiete. Nach eigenen Angaben hatte auch diese Arbeit ihre Wurzel in der „korrekten“ Formulierung des Hilbert-Problems in der algebraischen Geometrie, diesmal um Obstruktionen gegen die Auflösung von Singularitäten von Gleichungen n-ten Grades zu untersuchen. Die Topologie der Ebene minus Singularitäten ist mit der Zopfgruppe (englisch: braid group) beschreibbar. Arnold untersuchte ihren Kohomologiering.

In verschiedenen Aufsätzen hat er sich gegen die Bourbaki-Tradition der Lehre speziell in Frankreich, wo er ab den 1990er Jahren lehrte, ausgesprochen. Außerdem beklagt er die Vernachlässigung russischer Arbeiten in der „westlichen“" Literatur, was häufig zu „Neuentdeckungen“ und unvollständigen oder falschen Zuschreibungen führte, teilweise wegen der Sprachbarriere, teilweise aber nach Arnold auch aus Ignoranz. Arnold interessiert sich sehr für die Geschichte der Mathematik. In einem Interview sagt er, einen großen Teil seiner Kenntnisse habe er durch das Studium von Felix Kleins Geschichte der Mathematik im 19.Jahrhundert gelernt. Die „Russische Methode“ der Literaturrecherche fängt denn auch in den Gesammelten Werken von Felix Klein (Arnold ergänzt noch Poincaré) und in den Anfang des 20.Jahrhunderts erschienen Bänden der von Felix Klein und anderen herausgegebenen „Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften“ an. Um die Beiträge speziell der russischen Mathematiker ins rechte Licht zu rücken haben deren führende Vertreter, unter ihnen auch Arnold, mit der Herausgabe einer neuen, modernen Enzyklopädie (einer Reihe von Überblicksartikeln und -büchern, wie sie früher in Russland besonders für die „Russian Mathematical Surveys“ geschrieben wurden) begonnen.

Arnold ist auch bekannt für verschiedene von ihm gestellte Probleme, z.B. über die Existenz von Fixpunkten bei symplektischen Abbildungen kompakter symplektischer Mannigfaltigkeiten (wie sie etwa in der klassischen Mechanik auftreten) - teilweise gelöst von Andreas Floer.

Er erhielt unter anderem 1958 den Preis der Moskauer Mathematischen Gesellschaft, 1965 zusammen mit Andrei Kolmogorow den Leninpreis.

1982 erhält er zusammen mit Louis Nirenberg vom Courant Institute of Mathematical Sciences der New York University den mit 400.000 Schwedischen Kronen (skr) dotierten Crafoord-Preis „für außergewöhnliche Leistungen in der Theorie nichtlinerarer partieller Differentialgleichungen“, vergeben von der Schwedischen Akademie der Wissenschaften. Mit weiteren 400.000 skr wurden die Forschungsarbeiten auf diesem Gebiet in Schweden gefördert.

2001 erhielt er den Dannie-Heineman-Preis, 2008 den Shaw Prize (gemeinsam mit Faddeev).

Werke

  • Yesterday and long ago, Springer 2007 (Erinnerungen)
  • Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen, Springer 2004, ISBN 3-540-43578-6
  • Gewöhnliche Differentialgleichungen, 1980, 2.Aufl., Berlin, Springer 2001, ISBN 3-540-66890-X (engl. schon 1973, MIT press)
  • Mathematische Methoden der klassischen Mechanik, Birkhäuser 1988, ISBN 3-7643-1878-3 (engl. 2.Aufl.1989, Springer, Graduate texts in mathematics)
  • mit Avez Ergodic problems of classical mechanics, New York, Benjamin 1968
  • Topological methods in hydrodynamics, Springer 1998
  • Geometrische Methoden in der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, ISBN 3-7643-1879-1
  • Arnolds problems, 2.Aufl., Springer 2004 (eine Problem-Liste von 2002 ist auf seiner homepage)
  • Mathematics- frontiers and perspectives, American Mathematical Society 2000
  • Catastrophe theory, 3.Aufl., Springer 1993
  • Bifurcation theory and catastrophe theory, 2.Auflage Springer 1999
  • Singularities of caustics and wave fronts, Kluwer 1990
  • Topological invariants of plane curves and caustics, American Mathematical Society 1994
  • Huygens und Barrow, Newton und Hooke, Birkhäuser 1990
  • From Hilberts Superposition problem to Dynamical systems, American Mathematical Monthly, August/September 2006 (Überblick über seinen mathematischen Werdegang, Vorlesung Toronto 1997, online hier:[1])
  • Arnold ist Herausgeber und Mitautor in der Reihe "Encyclopedia of mathematical sciences" im Springer Verlag (u.a. in der Reihe "Dynamische Systeme").

Literatur

  • Bierstone Hrsg. The Arnoldfest, American Mathematical Society 1999 (Konferenz zu Arnolds 60.Geburtstag in Toronto 1997)

Weblinks

Quellen

  1. From Hilberts Superposition problem to Dynamical systems, American Mathematical Monthly, August/September 2006
  2. Zhihong Xia vom Georgia Institute of Technology konnte 1994 beweisen, dass schon ein Dreikörpersystem entsprechendes Verhalten aufweisen kann

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