Vollständiges Differential

Das totale Differential (auch vollständige Differential) ist ein Begriff aus der Differentialrechnung und bezeichnet das Differential einer Funktion, insbesondere bei Funktionen mehrerer Variablen. Zu einer gegebenen Funktion $f:M\to \mathbb R$ bezeichnet man mit df das totale Differential, z. B.:

${\rm d}f=\sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\, {\rm d}x_i\,\,.$

Zur Unterscheidung von totalen und partiellen Differentialen werden hier unterschiedliche Symbole benutzt (nicht-kursives d bzw. kursives d). Hierbei ist M eine offene Teilmenge des reellen Vektorraums $\R^n$ oder allgemeiner eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

In den Natur- und Wirtschaftswissenschaften versteht man unter df eine infinitesimale Differenz, in der Mathematik eine Ableitung, die sog. totale Ableitung [df](v) in Richtung des Vektors v,   $\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}=[{\rm d}f](v)$ für $v=t\cdot v_0$, mit dem zu v gehörenden Einheitsvektor v₀. Dabei ist die totale Ableitung von der partiellen zu unterscheiden, weil im letztgenannten Fall nur die explizite Abhängigkeit, bei der totalen Ableitung dagegen auch die impliziten Abhängigkeiten, also mögliche Abhängigkeiten der Parameter mitgezählt werden.

Einfacher Fall

Für eine Funktion f(x,y) von zwei unabhängigen Variablen versteht man unter dem totalen Differential den linearen Differentialausdruck ^[1]

${\rm d} f = \frac{\partial f}{\partial x} \, \operatorname{d} x + \frac{\partial f}{\partial y} \,\operatorname{d} y \,.$

Dabei bezeichnet $\frac{\partial f}{\partial x}$ die partielle Ableitung der Funktion f nach der Variablen x. Das totale Differential beschreibt die Änderung von f bei kleinen Änderungen von x und y. Der Begriff kann auf eine beliebige Anzahl von unabhängigen Variablen erweitert werden.

Reeller Vektorraum

Für den Fall, dass M der reelle Vektorraum $\R^n$ ist, erzeugt zu jedem Punkt $x\in\R^n$ das totale Differential ${\rm d}f(x):\R^n\to\R$ eine lineare Abbildung, die jedem Vektor $v = (v_1,\dots,v_n) \in\R^n$ die partielle Ableitung in Richtung dieses Vektors zuordnet, also:

$[{\rm d}f(.)](v)\to\frac{\partial f}{\partial v}(x)= \frac\operatorname{d}\operatorname{dt}(f(x+t\cdot v))|_{t=0} = \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}(x)\, v_i$

Da das totale Differential df(x) als lineare Abbildung interpretiert wird, lässt es sich in folgender Form schreiben

${\rm d}f(x)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}(x)\,{d}x^i$,

wobei ${\rm d}x^i:\R^n\to\R$ die Linearform ist, die einem Vektor $v = (v_1,\dots,v_n)$ seine i-te Komponente v_i zuordnet, d.h. ${\rm d}x^i(v_1,\ldots,v_n)=v_i$ (duale Basis). Unter Zuhilfenahme des Gradienten lässt sich das totale Differential auch wie folgt schreiben:

$[{\rm d}f(x)](v) = \nabla f(x) \cdot v$,

wobei auf der rechten Seite das Skalarprodukt steht.

Mannigfaltigkeit

Für den allgemeinen Fall ist zu jedem Punkt $x\in M$ das totale Differential ${\rm d}f(x):T_xM\to\R$ eine lineare Abbildung, die jeder Tangentialrichtung $v\in T_xM$ die partielle Ableitung in diese Richtung zuordnet. Ist $v = \dot\gamma(0)$ der Tangentialvektor einer Kurve γ in M mit γ(0) = x, so ist

$[{\rm d}f(x)](v) = \frac\operatorname{d}{\operatorname{d}t} \left(f\circ \gamma(t)\right)\Big|_{t=0}\ .$

Für eine Darstellung von df in Koordinaten betrachte man eine Karte $y:U \to \R^n$ einer Umgebung U des Punkts x mit y(x) = 0. Die n verschiedenen Kurven $\gamma_i(t):=y^{-1}(t\cdot e_i)$ repräsentieren eine Basis $\dot\gamma_i(0),\dots,\dot\gamma_n(0)$ des Tangentialraums T_xM und mittels

$\left[\frac{\partial f}{\partial y_i}\right](x)= \frac\operatorname{d}{\operatorname{d}t}\left(f\circ \gamma_i(t)\right)\Big|_{t=0}$

erhält man die partiellen Ableitungen. Analog zum reellen Vektorraum gilt dann

${\rm d}f(x)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial y_i}(x)\,\operatorname{d}y^i$,

wobei ${\rm d}y^i:T_xM\to\R$ das totale Differential der Funktion $y_i \colon U \to \R$ ist. Der Kotangentialraum ist $T_x^*M$, dual zu den Basisvektoren $\dot\gamma_i(0)$.

Betrachtet man Tangentialvektoren $v \in T_x M$ als Derivationen, so gilt [df](x)](v) = v(f).

Integrabilitätsbedingung

Jedes totale Differential A = df ist eine 1-Form, das heißt A besitzt folgende Darstellung

$A(x) = \sum_{i=1}^n a_i(x) \operatorname{d}x^i$

Im Kalkül der Differentialformen wird die Cartan-Ableitung dA als folgende 2-Form beschrieben:

${\rm d}A(x) = \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n \left[\frac{\partial a_j}{\partial x_i}(x)-\frac{\partial a_i}{\partial x_j}(x)\right] \operatorname{d}x^i\wedge \operatorname{d}x^j$

Handelt es sich bei A tatsächlich um ein totales Differential df einer C²-Funktion f, d.h. gilt $a_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}$, so ist dA = 0.

Lokal gilt auch immer die Umkehrung: Erfüllt die 1-Form A die Bedingung dA = 0, so existiert zumindest in einer Umgebung jedes gegebenen Punktes eine Stammfunktion von A, d.h., eine differenzierbare Funktion f, so dass A = df ist.

Man nennt die Bedingung dA = 0 deshalb auch Integrabilitätsbedingung. Ausführlich formuliert lautet sie

Für alle Indizes i,j gilt   $\frac{\partial a_j}{\partial x_i}-\frac{\partial a_i}{\partial x_j}\equiv 0$, was im Hinblick auf physikalische Anwendungen auch als verallgemeinerte Rotationsbedingung bezeichnet wird.

In vielen Fällen existiert dann sogar eine globale Stammfunktion und A ist tatsächlich ein totales Differential. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn der Definitionsbereich der Differentialform A der euklidische Raum $\R^n$ ist, oder allgemeiner wenn er sternförmig oder einfach zusammenhängend ist.

Die Aussage, dass auf einer Mannigfaltigkeit M jede 1-Form, die die Integrabilitätsbedingung erfüllt, eine Stammfunktion besitzt (also ein totales Differential ist), ist äquivalent dazu, dass die erste de-Rham-Kohomologie-Gruppe H¹(M) trivial ist.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Betrachtet man $M=\R$ und eine beliebige 1-Form A = fdx. Dann gilt aus Dimensionsgründen immer dA = 0 und die für $\R$ gültige Integrabilitätsbedingung ist erfüllt. Somit gibt es eine Funktion F, die die Gleichung ${\rm d}F = f \,{\rm d}x$ bzw. $\frac{{\rm d}F}{{\rm d}x}=f$ erfüllt. Dies ist gerade der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für Funktionen einer Variablen.

Verallgemeinerungen

In der Funktionalanalysis kann man den Begriff der totalen Ableitung in naheliegender Weise für Fréchet-Ableitungen verallgemeinern, in der Variationsrechnung für die sog. Variationsableitungen.

Anwendung

Anwendung findet das totale Differential z.B. in der Fluidmechanik. Sei $T(t, \vec x)$ eine Temperatur zum Zeitpunkt t am Ort $\vec x$. Interessiert nun die Änderung der Temperatur eines Teilchens zum Zeitpunkt t am Ort $\vec x$ so genügt nicht die Ableitung der Temperatur $\frac{\partial T}{\partial t}$ zu betrachten, da das Teilchen nicht nur eine Temperaturänderung sondern auch eine Änderung des Ortes, die sog. konvektive Änderung erfährt. Die Änderung der Temperatur des Teilchen lässt sich nun durch das totale Differential darstellen:

${\rm d} T = \frac{\partial T}{\partial t} \, \operatorname{d} t + \frac{\partial T}{\partial x_1} \,\operatorname{d} x_1 + \frac{\partial T}{\partial x_2} \,\operatorname{d} x_2 + \frac{\partial T}{\partial x_3} \,\operatorname{d} x_3.$

Literatur

• Alle Lehrbücher der Analysis, üblicherweise Band 2, „Mehrere Veränderliche“, etc.

Quellen

1. ↑ Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure. Band 2, 5. Auflage, 1990.