Wolstenholme-Primzahl


Wolstenholme-Primzahl

Der Satz von Wolstenholme (nach Joseph Wolstenholme) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. In einer möglichen Form besagt er: Ist p\geq5 eine Primzahl, so ist der Zähler der rationalen Zahl

1+\frac12+\frac13+\frac14+\ldots+\frac1{p-1}

durch p2 teilbar.[1]

Inhaltsverzeichnis

Andere Formulierungen, Folgerungen

Der Satz ist äquivalent zu der Aussage, dass der Zähler von

1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\ldots+\frac1{(p-1)^2}

durch p teilbar ist.[2]

Eine Folgerung aus dem Satz ist die Kongruenz

{2p\choose p}\equiv2\mod{p^3},

die auch in der Form

{2p-1\choose p-1}\equiv1\mod{p^3}

geschrieben werden kann.

Wolstenholme-Primzahlen

Eine Wolstenholme-Primzahl p ist eine Primzahl, die eine stärkere Fassung des Satzes von Wolstenholme erfüllt, genauer: die eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:[3]

  • Der Zähler von
1+\frac12+\frac13+\dots+\frac1{p-1}
ist durch p3 teilbar.
  • Der Zähler von
1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\dots+\frac1{(p-1)^2}
ist durch p2 teilbar.
  • Es gilt die Kongruenz
{2p\choose p}\equiv2\mod{p^4}
bzw. die Kongruenz
{2p-1\choose p-1}\equiv1\mod{p^4}.

Die beiden bisher einzigen bekannten Wolstenholme-Primzahlen sind 16843 und 2124679. Jede weitere Wolstenholme-Primzahl müsste größer als 6,4·108 sein.

Verwandter Begriff

Betrachtet man nur ungerade Nenner, also die Summe

1+\frac13+\frac15+\dots+\frac1{p-2}

für eine Primzahl p\geq3, so ist der Zähler genau dann durch p teilbar, wenn die stärkere Form

2^{p-1}\equiv1\mod{p^2}

des Satzes von Euler-Fermat gilt.[4] Derartige Primzahlen heißen Wieferich-Primzahlen.

Geschichte

Aus dem Satz von Wilson (p ist genau dann eine Primzahl, wenn (p-1)! \equiv -1 \pmod p ist) folgt, dass für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n die Kongruenz

{{np-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p}

erfüllt ist.

Charles Babbage bewies 1819, dass für jede Primzahl p>2 diese Kongruenz gilt:

{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^2}

Der Mathematiker Joseph Wolstenholme (1829-1891) bewies dann 1862, dass für jede Primzahl p>3 die folgende Kongruenz gilt:

{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^3}

Literatur

  • G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1
  • J. Wolstenholme, On certain properties of prime numbers, Quart. J. Math. Oxford Ser. 5 (1862) 35–39

Quellen

  1. Hardy-Wright, a.a.O., Theorem 115, S. 88
  2. Hardy-Wright, a.a.O., Theorem 117, S. 90
  3. A. Gardiner, Four problems on prime power divisibility. Am. Math. Mon. 95, No. 10 (1988) 926–931
  4. Hardy-Wright, a.a.O., Theorem 132, S. 104

Weblinks


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