Zeitkonstante

Zeitkonstante

Die Zeitkonstante gibt allgemein den Zeitraum an, den ein exponentiell absinkender Prozess braucht, um auf 1/e (etwa 36,8 %) seines Ausgangswertes abzusinken. Ein exponentiell ansteigender Prozess wächst in diesem Zeitraum auf 63,2 % des Endwertes. Diese Zeit ist nicht mit der Halbwertszeit zu verwechseln, die den Zeitraum für ein Absinken auf 50 % bezeichnet und 69,3% der Zeitkonstante entspricht. Beispiele für exponentiell ablaufende Prozesse sind der Abbau eines Schadstoffes in Wasser, die Abkühlung eines Warmwasserspeichers, der radioaktive Zerfall und in elektrischen Stromkreisen die Aufladung von Kondensatoren über einen Widerstand.

Inhaltsverzeichnis

Nachrichtentechnik und Elektrotechnik

Die Zeitkonstante τ (griechisch: tau) wird in der Nachrichtentechnik zur Festlegung des Frequenzgangs bei der Entzerrung beim Tonband, beim Rundfunksender, bei der Schallplatte und bei der Übertragung in der Digitaltechnik angegeben. Siehe auch Emphasis mit Präemphase und Deemphase. In der Elektrotechnik kennzeichnet sie die Zeitverläufe beim Aufladen von Kondensatoren oder beim Stromanstieg in Spulen. Einheit der Zeitkonstante ist die Sekunde.

Kondensator

Spannung Uc an der Kapazität nach dem Einschalten als Funktion der Zeit

Die Aufladung von Kondensatoren an einer konstanten Spannung über einen in Reihe zum Kondensator geschalteten Widerstand und die Entladung von Kondensatoren über einen Widerstand sind exponentiell ablaufende Vorgänge. Die Zeitkonstante der Reihenschaltung von Kondensator und Widerstand ist das Produkt aus dem Widerstand R und der Kapazität C.

\tau = R \cdot C

Der Anstieg der Spannung erfolgt bei der Ladung des Kondensators nach

u(t) = U_\mathrm{max} \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \,

Näherungswerte für die Spannung des Kondensators in Bezug auf die Gleichspannung:

beim Laden beim Entladen
1 · τ ≈ 63,2 % 1 · τ ≈ 36,8 %
2 · τ ≈ 86,5 % 2 · τ ≈ 13,5 %
3 · τ ≈ 95,0 % 3 · τ ≈ 4,98 %
4 · τ ≈ 98,2 % 4 · τ ≈ 1,83 %
5 · τ ≈ 99,3 % 5 · τ ≈ 0,674 %

Nach t = 5 · τ ist der Kondensator auf das (1 − e−5)-fache (ca. 99,3 %) der Kapazität aufgeladen; sofern keine besonders hohen Genauigkeitsanforderungen bestehen, betrachtet man den Ladevorgang damit als abgeschlossen.

Weitere Näherungswerte sind:

Anstiegszeit der Spannung von 20 % auf 80 % tr ≈ 1,4 · τ
Anstiegszeit der Spannung von 10 % auf 90 % tr ≈ 2,2 · τ
Anstiegszeit der Spannung von 0 auf 50 % tH = ln 2 · τ ≈ 0,69 · τ

Bei RC-Gliedern ist der Zusammenhang zwischen Grenzfrequenz fc und Zeitkonstante:

\tau = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot f_c}
f_c = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot \tau} = \frac{1}{2 \cdot \pi \cdot R \cdot C}

Spule

Der Anstieg des Stromes in einer Reihenschaltung einer Spule L mit ihrer Induktivität und dem Widerstand R an einer konstanten Spannung und der Abfall des Stromes sind exponentiell ablaufende Vorgänge. Die Zeitkonstante der Reihenschaltung von Induktivität und Widerstand ist der Quotient aus der Induktivität und dem Widerstand:

\tau=\frac{L}{R}

Der Anstieg des Stromes erfolgt dabei nach:

i(t) = \frac{U}{R} \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \,

τ gibt die Zeit an, nach der der Strom durch die Induktivität ca. 63,2 % des Endstromes erreicht hat. Nach 5 · τ hat der Strom etwa 99,3 % seines Endwertes erreicht, man betrachtet den Einschaltvorgang damit meist als abgeschlossen.

Übergangsfrequenzen einiger Normen

Zeitkonstante τ
in µs
Übergangsfrequenz fc
in Hz
Entzerrungsnorm
7958 20 RIAA
3183 50 RIAA, NAB
1592 100
318 500 RIAA
200 796
140 1137
120 326 MC
100 1592
90 1768 MC
75 2122 RIAA
70 2274 FM
50 3183 NAB, PCM
35 4547 DIN
25 6366
17,5 9095 AES
15 10610 PCM

Siehe auch

Weblinks


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