Zweipole

Als einen Zweipol (auch Eintor oder Oneport genannt) bezeichnet man in der Elektrotechnik allgemein ein Bauelement oder eine Schaltung mit zwei „Anschlüssen“ (Klemmen). Die Erweiterung ist der Vierpol (Zweitor).

Zweipoleigenschaften

Nach dem Klemmenverhalten bei Wechselspannung unterteilt man Zweipole in drei Kategorien:

• resistiv: Der Strom ist der Spannung proportional, Strom und Spannung sind stets in Phase.
• induktiv: Die Spannung ist der zeitlichen Änderung des Stroms proportional, die Spannung eilt dem Strom voraus
• kapazitiv: Der Strom ist der zeitlichen Änderung der Spannung proportional, der Strom eilt der Spannung voraus

Es gibt Mischformen aus den oben genannten Kategorien: resistiv-induktiv, resistiv-kapazitiv. Ein Beispiel für einen resistiv-induktiven Zweipol ist ein Elektromotor. Ein Schwingkreis kann frequenzabhängig alle drei Verhalten zeigen. Ein Schwingkreis wird häufig durch seine Resonanzkurve normiert über die Verstimmung, statt durch ein U-I-Diagramm dargestellt.

Neben diesen drei Kategorien lassen sich weitere Eigenschaften eines Eintors bestimmen:

• passiv: Das Eintor gibt in keinem Betriebszustand elektrische Leistung über die Klemmen ab.
• aktiv: Das Eintor gibt (immer) Leistung über die Klemmen ab.
• linear: Für den Zusammenhang zwischen Klemmenstrom und Klemmenspannung gilt der Überlagerungssatz.
• zeitinvariant: Das Verhalten des Zweitors ist nicht explizit von der Zeit unabhängig.

Zweipolersatzschaltungen

Wenn nur das Ausgangsverhalten eines Zweipols und nicht sein exakter interner Aufbau von Interesse ist, kann dieser durch eine kompaktere Ersatzschaltung dargestellt werden. Die Ersatzschaltung besitzt dabei das gleiche Strom-Spannungs-Verhalten am Ausgang wie die ursprüngliche Schaltung.

Passive Zweipole

Stern-Dreieck-Transformation von Widerständen

Wenn Zweipole aus rein passiven Elementen bestehen, sind diese meist durch Kombinationen von Parallelschaltungen und Reihenschaltungen miteinander verschaltet und können leicht zusammengefasst werden. In seltenen Fällen kommt es jedoch vor, dass drei Elemente einen sogenannten Stern oder ein Dreieck bilden und ein direktes Zusammenfassen verhindern. Eine Stern-Dreieck-Transformation kann jedoch so eine Problemstelle auflösen, wodurch ein weiteres Zusammenfassen ermöglicht wird. Bilden mehr als drei Schaltelemente eine dieser Problemstellen, spricht man von Sternen und Polygonen sowie folglich der verallgemeinerten Stern-Polygon-Transformation.

Die Zweipolgleichung für passive Zweipole lautet:

$U_{out} = R_{Ersatz} * I_{out} \!\,$

Aktive Zweipole

Einfacher Spannungsteiler

Ersatzspannungsquelle bzw. Thévenin-Äquivalent

UI-Kennlinie des Ausgangs

Thévenin-Norton-Äquivalent-Umwandlung

Eine Ersatzschaltung für einen aktiven Zweipol besteht aus einer Ersatzspannungs- oder Stromquelle sowie einem Innenwiderstand. Im Bild rechts ist ein einfacher aktiver Zweipol aus einer Spannungsquelle und zwei Widerständen in Reihenschaltung dargestellt. Die Ausgangsspannung U₂ fällt über die Parallelschaltung aus R₂ und einem eventuell angeschlossenen Lastwiderstand R_L ab. Der Wert der Ersatzspannungsquelle, die sogenannte Leerlaufspannung, kann am Ausgang im unbelasteten Zustand ohne R_L ($R_L = \infty$) entweder mit einem Spannungsmessgerät gemessen oder über die Spannungsteilerregel bestimmt werden. Für das Beispiel ergibt sich der Wert der Ersatzspannungsquelle zu:

$U_{2,LL} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} * U$

Zur Bestimmung des Innenwiderstandes wird noch der Kurzschlussstrom benötigt. Dazu wird der Ausgang kurzgeschlossen (R_L = 0). Für eine Strommessung erfolgt dies mit einem Strommessgerät. Bei einer Berechnung stellt man fest, dass durch den Kurzschluss keine Spannung mehr über R₂ abfällt und sich folgender Kurzschlussstrom für das Beispiel ergibt:

$I_K = \frac{U}{R_1}$

Mit beiden Werten ergibt sich der Innenwiderstand der Ersatzschaltung zu:

$R_i = \frac{U_{2,LL}}{I_K} = \frac{R_1 * R_2}{R_1 + R_2} = R_1 \parallel R_2$

Rein mathematisch ergibt sich diese Lösung für den Innenwiderstand auch, wenn die Spannungsquelle kurzgeschlossen und der Ausgang im Leerlauf ist. Von den Ausgangsklemmen aus betrachtet, entspricht der Innenwiderstand der Parallelschaltung der beiden Teilerwiderstände. Im zweiten Bild ist die Ersatzschaltung zu sehen.

Leerlaufspannung		Kurzschlussstrom		Innenwiderstand
Messung	Rechnung	Messung	Rechnung

Der Lastwiderstand R_L bleibt von der Umstellung unbeeinflusst. Er bildet nun eine Reihenschaltung bzw. Spannungsteiler mit R_i und seine Wirkung auf die Ausgangsspannung tritt deutlich hervor. Je größer er ist ($R_L \to \infty$), desto mehr nähert sich die Ausgangsspannung der Leerlaufspannung und der Ausgangsstrom geht gegen Null. Je kleiner er ist ($R_L \to 0$), desto mehr nähert sich die Ausgangsspannung dem Wert 0 und der Ausgangsstrom dem Kurzschlussstrom. Die Ausgangsspannung in Abhängigkeit vom Ausgangsstrom drückt die Zweipolgleichung aus:

$U_{2} = U_{2,LL} - R_i * I_{L} \!\,$

Die Ersatzschaltung kann nach dem Norton-Theorem in eine äquivalente Schaltung mit Ersatzstromquelle und Innenleitwert umgeformt werden. Die Zweipolgleichung abhängig von U₂ lautet dann:

$I_L = I_K - G_i * U_2 \!\,$

Leistung und Wirkungsgrad aktiver Zweipole

Die Ausgangsleistung wird bestimmt durch:

$P_L = U_2 * I_L = \frac{R_L * U_{2,LL}}{R_i + R_L} * \frac{U_{2,LL}}{R_i + R_L} = \frac{R_L}{(R_i + R_L)^2} * U_{2,LL}^2$

Die Gesamtleistung besträgt:

$P_{ges} = U_{2,LL} * I_L = \frac{1}{R_i + R_L} * U_{2,LL}^2$

Der Wirkungsgrad wird berechnet durch:

$\eta =\frac{P_L}{P_{ges}} = \frac{R_L}{R_i + R_L}$

Je größer R_L, desto größer ist der Wirkungsgrad. Er kann Werte zwischen 0 (R_L = 0) und 1 ($R_L \to \infty$) annehmen. Bei Leistungsanpassung (R_i = R_L) beträgt er 0,5.

Zweipoltheorie

Die Zweipoltheorie befasst sich mit der theoretischen Betrachtung und Berechnung von Zweipolen. Dabei wird das Klemmverhalten über den Zusammenhang von Strom und Spannung beschrieben, das frequenzabhängig sein kann. Wird dieser Zusammenhang in einem zweidimensionalen Diagramm eingetragen, entstehen je nach Bauteil unterschiedliche Graphen. Es entstehen Kennlinien, Kennflächen oder einzelne Punkte. Ein Strom-Spannungs-Diagramm lässt sich jedoch nicht für alle Elemente zeichnen.