Zwischenwertsatz

In der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz ein wichtiger Satz über den Wertebereich stetiger Funktionen.

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion f, die auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig ist, jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt. Haben insbesondere f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle von f im abgeschlossenen Intervall [a,b]. Dieser Sonderfall ist als Nullstellensatz von Bolzano bekannt und nach Bernard Bolzano benannt. Andererseits kann der Zwischenwertsatz aber auch aus dem Nullstellensatz hergeleitet werden. Die beiden Formulierungen sind also äquivalent.

Zwischenwertsatz

Satz

Es sei $f: [a,b] \to \R$ eine stetige reelle Funktion, die auf einem Intervall definiert ist. Dann existiert zu jedem $u\in [f(a), f(b)]$ (falls $f(a)\leq f(b)$) bzw. $u\in [f(b), f(a)]$ (falls $f(b)\leq f(a)$) ein $c\in [a,b]$ mit $f\left(c\right)=u$.

Beweis

Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass f(a) < f(b) gilt und es sei $u\in [f(a), f(b)]$.

Die Funktion

$g: [a,b] \to \R, x\mapsto f(x) - u$

ist stetig auf [a,b] und es gilt $g\left(a\right)<g\left(b\right)$ sowie $g\left(a\right)\leq 0\leq g\left(b\right)$. Es wird ein Punkt $c\in [a,b]$ mit $g\left(c\right)=0$ konstruiert, für diesen gilt dann $f\left(c\right)=u$.

Wir bilden eine Intervallschachtelung $[a_k,b_k], k \in \mathbb{N}$ mit a₁: = a,b₁: = b und

$[a_{k+1},b_{k+1}] = \begin{cases} [\frac{a_k + b_k}{2}, b_k] & \mbox{falls } g(\frac{a_k + b_k}{2}) < 0\\ \left[a_k, \frac{a_k + b_k}{2}\right] & \mbox{sonst }\end{cases}$

Falls $g\left(\frac{a_k + b_k}{2}\right)=0$ ist, ist $c = \frac{a_k + b_k}{2}$ der gesuchte Punkt.

Andernfalls gilt nach dem Intervallschachtelungsprinzip $\bigcap_{k \in \mathbb{N}} [a_k, b_k] = \{ c \}$ für eine Zahl $c\in [a,b]$, für den die gesuchte Eigenschaft g(c) = 0 gilt.

Offensichtlich ist a_k monoton steigend und nach oben beschränkt und b_k monoton fallend und nach unten beschränkt, so dass die Grenzwerte beider Folgen existieren. Nach der Konstruktion der Intervallschachtelung ist

$\lim_{k \to \infty}a_k = c$  und  $\lim_{k \to \infty}b_k = c$.

Aus der Stetigkeit von g im Punkt c folgt

$g(\lim_{k \to \infty} a_k) = \lim_{k \to \infty}g(a_k) = g(c)$  und  $g(\lim_{k \to \infty} b_k) = \lim_{k \to \infty}g(b_k) = g(c)$.

Wegen $g(a_k)\leq 0$ für alle $k\in\Bbb N$ gilt auch $g(c)\leq 0$, und wegen $g(b_k)\geq 0$ folgt analog $g(c)\geq 0$. Damit ist g(c) = 0 bewiesen.

Beispiel

Die Kosinus-Funktion $\cos\left(x\right)$ ist im Intervall [0, 2] stetig, es ist $\cos\left(0\right)=1$ und $\cos\left(2\right) \approx -0,4161 < 0$. Der Zwischenwertsatz besagt dann, dass der Cosinus mindestens eine Nullstelle im Intervall (0, 2) hat. Tatsächlich gibt es in dem Intervall genau eine Nullstelle, die den Wert π/2 hat.

Verallgemeinerung

Der Zwischenwertsatz ist ein Spezialfall des folgenden Satzes aus der Topologie: Das Bild einer zusammenhängenden Teilmenge eines topologischen Raumes bezüglich einer stetigen Abbildung ist wieder zusammenhängend.

Um daraus wieder den Zwischenwertsatz zu erhalten, benötigt man noch die Aussage, dass eine Teilmenge der reellen Zahlen genau dann zusammenhängend ist, wenn sie ein Intervall ist (jeglicher Art, d.h. beschränkt oder unbeschränkt; offen, halboffen oder abgeschlossen).

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2