Zählmaß (Maßtheorie)


Zählmaß (Maßtheorie)

Das Zählmaß ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik.

Einfach gesprochen ist das Zählmaß eine Funktion, die jeder Menge die Anzahl ihrer Elemente zuordnet. Formal lässt sich das Zählmaß auf einem Messraum (A,\mathfrak P(A)) definieren, wobei A eine endliche oder abzählbar unendliche Menge und \mathfrak P(A) ihre Potenzmenge ist. Im ersten Fall entsteht dabei ein endliches, im zweiten Fall ein σ-endliches Maß.

Mit Hilfe des Zählmaßes lässt sich jede endliche Summe oder unendliche, absolut konvergente Reihe als Lebesgue-Integral darstellen. Insbesondere gilt für jede Abbildung f:\mathbb N\rightarrow\mathbb R :

\sum_{k=1}^\infty f(k) konvergiert absolut \Longleftrightarrow f ist integrabel bzgl. des Zählmaßes auf \mathfrak P(\mathbb N).

Beispiele

Integral der Funktion x\mapsto x^2 auf dem Intervall [ − 10,10] bzgl. dem Zählmaß über \mathbb N

Über den natürlichen Zahlen, das heißt dem Messraum (\mathbb N,\mathfrak P(\mathbb N)), lässt sich das Zählmaß formal definieren durch

\mu:\mathfrak P(\mathbb N)\rightarrow\bar{\mathbb R}_+ mit A\mapsto \sum_{k=0}^\infty  \chi_{A}(k).

Hierbei bezeichnen χA die charakteristische Funktion über einer Menge A und \bar{\mathbb R}_+ die positive reelle Halbachse einschließlich \infty.

Literatur

  • Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. Vieweg, Braunschweig 2003, S. 31.
  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4. Auflage, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2, S. 29.

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