Beta-Verteilung

Betaverteilung für verschiedene Parameterwerte

Dichten verschiedener beta-verteilter Zufallsgrößen

Die Betaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über dem Intervall [0,1].

Definition

Betaverteilung auf [0,1]

Die Betaverteilung ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)={{1}\over {B(p,q)}}x^{p-1}(1-x)^{q-1}.$

Außerhalb des Intervalls [0,1] wird sie durch f(x) = 0 fortgesetzt. Sie besitzt die Parameter p und q. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird p,q > 0 gefordert.

Der Vorfaktor 1 / B(p,q) dient der korrekten Normierung. Der Ausdruck

$B(p,q)={\Gamma(p) \Gamma(q)\over\Gamma(p+q)}=\int_0^1 u^{p-1} (1-u)^{q-1}\, du$

steht für die Betafunktion, nach der die Verteilung benannt ist. Dabei bezeichnet Γ die Gammafunktion.

Die Verteilungsfunktion ist entsprechend

$F(x)=\frac{\mathbb{I}_{[0,1]}(x)}{B(p,q)}\cdot \int_0^{x} u^{p-1} (1-u)^{q-1}\mathrm{d}u,$

diese Funktion heißt auch regularisierte unvollständige Betafunktion.

Betaverteilung auf [a,b]

Die allgemeine Betaverteilung ist definiert zu

$f(x)={{1}\over {B(a,b,p,q)}}(x-a)^{p-1}(b-x)^{q-1},$

wobei a und b die obere und untere Grenze des Intervalls sind. Entsprechend ergibt sich die Berechnung von B zu

$B(a,b,p,q)=\int_a^b (u-a)^{p-1} (b-u)^{q-1}du={\Gamma(p)\Gamma(q)\over\Gamma(p+q)}(b-a)^{p+q-1}.$

Die weiteren Ausführungen in diesem Artikel beziehen sich nur auf die auf das Intervall [0,1] eingeschränkte Betaverteilung.

Eigenschaften

Extremum

Die Dichtefunktion f nimmt ihr Extremum an der Stelle $x_{extrem}=\left(1+\frac{q-1}{p-1}\right)^{-1}$ an.

Erwartungswert

Der Erwartungswert berechnet sich zu

$\operatorname{E}(X)={p \over p+q}$.

Varianz

Die Varianz ergibt sich zu

$\operatorname{Var}(X)={pq \over (p+q+1)(p+q)^{2}}$.

Standardabweichung

Für die Standardabweichung ergibt sich

$\sigma = \sqrt{\frac{pq}{(p+q+1)(p+q)^2}}$.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

$\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{q}{p(p+q+1)}}$.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

$\operatorname{v}(X) = \frac{2(q-p)\sqrt{p+q+1}}{(p+q+2)\sqrt{pq}}$.

Symmetrie

Die Beta-Verteilung ist für p = q symmetrisch um $x=\frac{1}{2}$ mit der Schiefe $\operatorname{v}(X)=0$.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Beziehung zur F-Verteilung

Wenn $X \sim \operatorname{F}(m,n)$ F-verteilt und $Y=\frac{m X/n}{1+m X/n}$ ist, dann verteilt sich $Y \sim \operatorname{Beta}(m/2,n/2).$

Beziehung zur Gammaverteilung

Wenn die Zufallsvariablen X mit γ(a₁,b)und Y mit γ(a₂,b) Gamma-verteilt sind mit den Parametern a₁,a₂ und b, dann ist die Größe $\frac{X}{X+Y}$ Beta-verteilt mit

$B(a_1,a_2) = \frac{\gamma(a_1,b)}{\gamma(a_1,b)+\gamma(a_2,b)}$.

Beispiel

Die Betaverteilung kann aus zwei Gammaverteilungen erhalten werden: Der Quotient X = U / (U + V) aus den stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen U und V, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern b und p_u bzw. p_v, ist betaverteilt mit den Parametern p_u und p_v. U und V lassen sich als Chi-Quadrat-Verteilungen mit 2p_u bzw. 2p_v Freiheitsgraden interpretieren.

Mit Hilfe der Linearen Regression wird eine Regressionsgerade y = a + bx durch eine Punktwolke mit n Wertepaaren $(x_i;y_i) (i=1,\dots ,n)$ zweier statistischer Merkmale x und y gelegt, und zwar so, dass die Quadratsumme der senkrechten Abstände der y_i-Werte von der Geraden minimiert wird.

Die totale Streuung von y (TSS) lässt sich mit der Streuungszerlegung zerlegen in die so genannte erklärte Streuung der durch die Gerade geschätzten Werte y* (ESS) und die nichterklärte Streuung der Residuen (RSS):

TSS = ESS + RSS.

Das Bestimmtheitsmaß, der Anteil der erklärten Streuung an der Gesamtstreuung

$r^{2}={{ESS}\over{TSS}}$

beziehungsweise

$r^{2}={ {ESS} \over { {ESS}+{RSS}}}$

ist also betaverteilt. Da das Bestimmtheitsmaß das Quadrat des Korrelationskoeffizienten von x und y darstellt, ist auch das Quadrat des Korrelationskoeffizienten betaverteilt.

Allerdings kann die Verteilung des Bestimmtheitsmaßes beim Modelltest der Regression durch die F-Verteilung angegeben werden, die tabelliert vorliegt.

Weblinks

• Universität Konstanz – Interaktive Animation

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