Bloch-Theorem

Bloch-Theorem

Die Bloch-Funktion oder Bloch-Welle (nach Felix Bloch) ist die allgemeinste Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein x0-periodisches Potential (z. B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper). Die Form dieser Wellenfunktionen wird durch das Bloch-Theorem festgelegt:

Definition: Es sei ein periodisches Potential V(x) mit der Periodizität x0 gegeben, V(x + x0) = V(x). Dann haben die Lösungen der stationären Schrödinger-Gleichung notwendigerweise die Form
\psi(x)=e^{ikx}\cdot u_k(x)

wobei uk(x) eine periodische Funktion mit Periode x0 ist (uk(x) = uk(x + x0)).

Die Periodizität des Potentials V(x)=V(x+x0) überträgt sich also auf uk(x) und damit auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψ|2 des betrachteten Teilchens im Potential. Betrachtet man einen kristallinen Festkörper, so ist die Periodizität x0 durch das Kristallgitter, also einen Gittervektor gegeben.


Kurze Herleitung

Das Potential V(\vec{r}) ist invariant gegenüber einer Translation um einen Vektor \vec R (in einem Kristall ist \vec{R} ein Gittervektor):

V(\vec{r}) = V(\vec{r}+\vec{R})


Dieselbe Translationsinvarianz gilt damit auch für den Hamiltonoperator \hat H=\frac{\hat P^2}{2m}+V(\vec r) des Teilchens. Daher unterscheiden sich zwei Wellenfunktionen, die um einen Vektor R gegeneinander verschoben sind, höchstens um einen ortsunabhängigen Faktor f:

\psi(\vec{r}+\vec{R}) = f(\vec{R}) \psi(\vec{r}).


Bloch zeigte, dass der Faktor f gegeben sein muss durch

f(\vec{R}) = e^{i\vec{k}\cdot\vec{R}}.


Diese Bedingungen werden aber gerade durch die Bloch-Funktion erfüllt.


Literatur

  • Hartmut Haug, Stephan Koch: Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors, Fourth Edition, Singapore – River Edge – London: World Scientific, Seite 29ff.
  • Cohen-Tannoudji, Claude / Diu, Bernard / Laloë, Franck (1999): Quantenmechanik 1&2, 2. Auflage, Berlin – New York: Walter de Gruyter.
  • Kittel, Charles (2006): Einführung in die Festkörperphysik, 14. Auflage, München: Oldenbourg-Verlag, Seite 194
  • Ibach, Harald / Lüth, Hans (1991): Festkörperphysik, 3.Auflage, Berlin – Heidelberg: Springer-Verlag, Seite 106fff

Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Bloch-Funktion — Die Bloch Funktion oder Bloch Welle (nach Felix Bloch) ist die allgemeinste Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein x0 periodisches Potential (z. B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper). Die Form… …   Deutsch Wikipedia

  • Bloch-Funktionen — Die Bloch Funktion oder Bloch Welle (nach Felix Bloch) ist die allgemeinste Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein x0 periodisches Potential (z. B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper). Die Form dieser …   Deutsch Wikipedia

  • Bloch-Welle — Die Bloch Funktion oder Bloch Welle (nach Felix Bloch) ist die allgemeinste Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein x0 periodisches Potential (z. B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper). Die Form dieser …   Deutsch Wikipedia

  • Bloch-Wellen — Die Bloch Funktion oder Bloch Welle (nach Felix Bloch) ist die allgemeinste Lösung der stationären Schrödingergleichung für ein x0 periodisches Potential (z. B. die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper). Die Form dieser …   Deutsch Wikipedia

  • Bloch — is a surname. 1. German and Swedish: Variant of Block 2. Danish: from Blok, hence a nickname for a large lumpish person, or from German Block 3. Jewish (Ashkenazic): regional name for someone in Eastern Europe originating from Italy or France,… …   Wikipedia

  • Bloch's theorem (complex variables) — Bloch s theorem, named after André Bloch is as follows.Let f be a holomorphic function on a region (i.e. an open, connected subset of C) that includes as a subset the closed unit disk | z | le; 1. Suppose f (0) = 0 and f prime;(0) = 1. Then for… …   Wikipedia

  • Bloch sphere — In quantum mechanics, the Bloch sphere is a geometrical representation of the pure state space of a two level quantum mechanical system named after the physicist Felix Bloch. Alternatively, it is the pure state space of a 1 qubit quantum register …   Wikipedia

  • Bloch's theorem — * For the theorem named after Felix Bloch on wave functions of a particle in a periodic potential, see Bloch wave. * For the theorem in complex variables named after André Bloch, see Bloch s theorem (complex variables) …   Wikipedia

  • Bloch wave — A Bloch wave or Bloch state, named after Felix Bloch, is the wavefunction of a particle (usually, an electron) placed in a periodic potential. It consists of the product of a plane wave envelope function and a periodic function ( periodic Bloch… …   Wikipedia

  • Bloch’s theorem — Blocho teorema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Bloch’s theorem vok. Blochsches Theorem, n rus. теорема Блоха, f pranc. théorème de Bloch, m …   Fizikos terminų žodynas

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”