Verallgemeinerter Laplace-Operator

Verallgemeinerte Laplace-Operatoren sind mathematische Objekte, welche in der Differentialgeometrie insbesondere in der Globalen Analysis untersucht werden. Wie der Name schon sagt, sind die hier behandelten Operatoren Verallgemeinerungen des aus der reellen Analysis bekannten Laplace-Operators. Diese Verallgemeinerungen sind notwendig, um den Laplace-Operator auf Riemann'schen Mannigfaltigkeiten definieren zu können. Eine wichtige Rolle spielen diese Operatoren in den Beweisen für den Atiyah-Singer-Indexsatz und den Atiyah-Bott-Fixpunktsatz.

Definition

Sei (M,g) eine n-dimensionale, kompakte Riemann'sche Mannigfaltigkeit und $\pi : E \to M$ ein Vektorbündel. Sei $H : \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)$ ein Differentialoperator zweiter Ordnung. Dieser heißt verallgemeinerter Laplace-Operator, falls für sein Hauptsymbol

$\sigma_H^2(x,\xi) = |\xi|^2$

für $x \in M$ und $\xi \in T^*_xM$ gilt. Die Norm wird durch die Riemann'sche Metrik induziert und daher ist auch die Definition abhängig von der Metrik.

Beispiele

Im Folgenden werden einige bekannte Beispiele verallgemeinerter Laplace-Operatoren vorgestellt. Dazu sei wieder wie in der Definition (M,g) eine n-dimensionale, kompakte Riemann'sche Mannigfaltigkeit und $\pi : E \to M$ ein Vektorbündel.

Laplace-Beltrami-Operator

Definition

Der Laplace-Beltrami-Operator ist definiert durch

$\Delta f := \operatorname{div} (\operatorname{grad} f ).$

für zweimal stetige Funktionen $f\colon M \to \R$. Dabei bezeichnet $\operatorname{grad} f$ den Gradienten der Funktion f, ein Vektorfeld auf M. Die Divergenz eines Vektorfelds X auf M an der Stelle $p \in M$ ist definiert als die Spur der linearen Abbildung $\nabla X\colon T_pM \to T_p M$, $\xi \mapsto \nabla_\xi X$, wobei $\nabla$ der Levi-Civita-Zusammenhang auf M ist. Hat man als Definitionsbereich keine echte Mannigfaltigkeit sondern eine offene Teilmenge des $\R^n$, so ist der Zusammenhang $\nabla$ die gewöhnliche Richtungsableitung und $\operatorname{div}$ die aus der reellen Analysis bekannte Divergenz. In diesem Fall erhält man den bekannten Laplace-Operator.

Lokale Koordinaten

Sei für $p \in M$ die Menge $\{\partial_1, \ldots, \partial_n\}$ eine Basis des Tangentialraums T_pM. Die Darstellung des Gradienten $\operatorname{grad}$ in lokalen Koordinaten lautet

$\operatorname{grad} f = \sum_{j} (\partial^j f) \partial_j = \sum_{j,i} (g^{ji}\partial_i f) \partial_j$

Die Darstellung der Divergenz ist

$\operatorname{div} X = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \sum_i \partial_i \left(\sqrt {\det g} X^i\right).$

Setzt man dies zusammen, so erhält man die lokale Darstellung

$\Delta f = \operatorname{div}(\nabla f) = \frac{1}{\sqrt {\det g}} \sum_{i,j}\partial_i \left(\sqrt{\det g}\, g^{ij} \partial_j f \right)$

des Laplace-Beltrami-Operators bezüglich der Metrik g. Setzt man in dieser Formel für den Laplace-Beltrami-Operator die Darstellung des euklidischen metrischen Tensors in Polar-, Zylinder- oder Kugelkoordinaten ein, so erhält man die Darstellung des üblichen Laplace-Operators in diesen Koordinatensystemen.

Hodge-Laplace-Operator

Sei $\textstyle \mathcal{A}(M) := \bigoplus_{i=1}^n \mathcal{A}^i(M)$ der Raum der Differentialformen über M und $\mathrm{d} : \mathcal{A}^i(M) \to \mathcal{A}^{i+1}(M)$ die äußere Ableitung. Die bezüglich der Metrik g adjungierte äußere Ableitung wird mit δ bezeichnet. Dann heißt der Operator

Δ: = dδ + δd = (d + δ)²

Hodge-Laplace- oder Laplace-de-Rham-Operator und ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator. Die Namen stammen daher, dass dieser Operator in der klassischen Hodge-Theorie und dem damit eng verbundenen De-Rham-Komplex Anwendung findet.

Dirac-Laplace-Operator

Ein Dirac-Operator

$D : \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)$

ist gerade so definiert, dass er durch quadrieren einen verallgemeinerten Laplace-Operator induziert. Das heißt $D^2 : \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)$ ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator und wird Dirac-Laplace-Operator genannt. Diese Laplace-Operatoren spielen eine wichtige Rolle im Beweis des Indexsatzes.

Bochner-Laplace-Operator

Der Bochner-Laplace-Operator kann über einen metrischen Zusammenhang $\nabla^E$ der Mannigfaltigkeit M definiert werden

$\Delta^E \cdot := - \operatorname{Tr}_g\left((\nabla^E)^2 \cdot \right) = - \operatorname{Tr}_g\left(\nabla^E(\nabla^E(.)) \right).$

Die Abbildung $\operatorname{Tr}_g$ ist dabei die Tensorverjüngung bezüglich der riemannschen Metrik.

Eine äquivalente Definition des Bochner-Laplace-Operators ist

$\Delta^E := - (\nabla^E)^* \nabla^E.$

Dabei ist $(\nabla^E)^*$ der adjungierte Operator bezüglich der riemannschen Metrik g.

Wählt man als Zusammenhang den Levi-Civita-Zusammenhang so erhält man in lokalen Koordinaten mit der Basis $e_1 , \ldots , e_n$ die Darstellung

$\Delta^E = - \sum_{j,k = 1}^n g^{jk}\left( \nabla^E_{e_j} \nabla^E_{e_k} - \nabla^E_{\nabla_{e_j}e_k}\right).$

Hierbei bezeichnet g^jk die Inverse der Metrik (g_jk): = g(e_j,e_k). Bei der Darstellung in lokalen Koordinaten wurde die Identität $\nabla^2u(X,Y) = \nabla_Yg(\nabla u,X) - g(\nabla u, \nabla_Y X)$ verwendet.

Eigenschaften

Die Voraussetzungen aus der Definition beziehungsweise dem Beispielabschnitt gelten auch hier und Δ^E ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator.

• Ein verallgemeinerter Laplace-Operator ist ein Differentialoperator der Ordnung zwei.
• Da ein verallgemeinerter Laplace-Operator, wie in der Definition gefordert, das Hauptsymbol | ξ | ² hat, ist er ein elliptischer Differentialoperator.
• Jeder Differentialoperator zweiter Ordnung mit positiv definitem Hauptsymbol ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator bezüglich einer geeigneten Riemann'schen Metrik.
• Sind $\phi, \psi \in \Gamma^{\infty}(M,E)$ glatte Schnitte, so gilt
  $g(\Delta^E \phi,\psi) = g(\nabla^E\phi, \nabla^E \psi).$
• Der Operator Δ^E ist nichtnegativ und wesentlich selbstadjungiert bezüglich L²(X,E). Die Definition des L² auf Mannigfaltigkeiten ist in Dichtebündel beschrieben.
• Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator Δ^E bestimmt eindeutig einen Zusammenhang $\nabla^E$ auf E und einen Bündelisomorphismus $B \in \Gamma^\infty(M,\operatorname{End}(E))$, so dass
  $\Delta^E = \operatorname{Tr}((\nabla^E)^2) - B$
  gilt. Also stimmt jeder verallgemeinerte Laplace-Operator mit dem Bochner-Laplace-Operator bis auf eine Störung der Ordnung Null überein.

Literatur

• Isaac Chavel: Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press, 1984, 2. Ausgabe ISBN 978-0121706401.
• Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds, World Scientific Pub Co.
• Peter B. Gilkey: Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer index theorem, Online Buch.
• Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, vieweg Lehrbuch, 1995, ISBN 3-528-06565-6.