Exponentialabbildung


Exponentialabbildung

Die Exponentialabbildung bezeichnet in der riemannschen und semi-riemannschen Geometrie eine Abbildung aus dem Tangentialraum an einem Punkt in die Mannigfaltigkeit. Jedem Vektor v im Tangentialraum über einem Punkt p entspricht genau eine Geodäte cv, wobei cv(0) = p und cv'(0) = v. Dies folgt aus der zweiten Ordnung der Differentialgleichung für Geodäten und gilt lokal um p. Die Exponentialabbildung von v in p, geschrieben als expp(v), bezeichnet dann den Punkt cv(1). Diese Abbildung ist bis zum Schnittort injektiv.

Eigenschaften

Bedeutung erlangt die Exponentialabbildung dadurch, dass sie eine Umgebung des Ursprungs im Tangentialraum an p auf eine Umgebung des Punktes p in der Mannigfaltigkeit diffeomorph abbildet. Sie bildet Geraden durch den Nullpunkt p des Tangentialraums auf Geodätische sogar isometrisch ab. In Richtungen senkrecht zu den Geodätischen wird im Allgemeinen nicht isometrisch abgebildet.

Die Bilder in der Umgebung um p unter dieser Abbildung sind Grundlage der geodätischen Normalkoordinaten. Auf dieser Eigenschaft beruht auch die Bezeichnung, dass eine Umgebung um einen Punkt eine (einfache) konvexe Umgebung ist, wenn jedes Paar von Punkten in dieser Umgebung durch eine einzige Geodäte der Mannigfaltigkeit verbunden werden kann, die vollständig in dieser Umgebung liegt. 1932 wurde von Whitehead gezeigt[1], dass jede semi-riemannsche Mannigfaltigkeit solche konvexen Umgebungen für jeden Punkt enthält und folglich Normalkoordinaten in der Umgebung des Punktes existieren. Diese Umgebung wird dann auch konvexe Normalumgebung genannt.

Eine weitere spezielle Eigenschaft gilt für diese Umgebungen in der Lorentzgeometrie[2]. So sind alle Punkte p in dieser Umgebung U(q) um q, die von q aus durch zeitartige Kurven innerhalb Us erreicht werden, Punkte der Form p = expq(v), für ein v in TqM mit g(v,v) < 0, wobei g(·,·) die Metrik der Mannigfaltigkeit bezeichnet. Anschaulich gesprochen heißt das, dass in dieser Umgebungen alle Punkte die durch eine zeitartige Kurve erreicht werden können auch durch eine zeitartige Geodäte erreicht werden.

Einzelnachweise

  1. Whitehead J.H.C.: Convex regions in the geometry of paths, Quart. J. Math. Oxford Ser. 3, 33–42 (1932)
  2. Hawking S.W., Ellis G.F.R.:The Large Scale Structure of Spacetime, Cambridge University Press, Cambridge. pp.103–105 (1976)

Literatur

  • Beem, J.K., Ehrlich, P.E., Easley, K.L.: Global Lorentzian Geometry, Pure and Applied Mathematics 202, 2nd Edition. New York: Marcel Dekker, Inc. 1996

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